CF1990E Catch the Mole

题意

给你一颗树，大小为 $n$。初始有一颗黑点在树上某个节点，你每次可以查询 $x$ 表示黑点是否在 $x$ 的子树内，且若答案为否则黑点会移动到父亲节点上。你需要在 160 次查询内找到黑点当前在哪个节点（不要求求出初始位置）。

$n\le 5000$，Easy Ver. 查询次数 300。

分析

由于每次失败的查询（答案为否的查询）会使得黑点上移，考虑设一个阈值 $B=\sqrt{n}$（叫根号分治可能不太准确），那么在 $B$ 次失败的查询后，如果黑点初始位置和根节点之间的链 $\le B$，那么黑点最终会移动到根节点处。

如果令“长链”表示链长 $>B$ 的链，那么黑点初始在这些“长链”的情况可以通过暴力查询长度恰好为 $B$ 的链端点完成。如果一次查询是失败的，那么黑点不可能出现在查询点的子树内，那么直接把子树删掉就行。每次删掉的点数量至少是 $B$ 个，所以这部分总查询次数不超过 $B$。

如果这些查询全部都是失败的，那么我们最终会剩下若干条最大深度不超过 $B$ 的链，直接暴力查询 $B$ 次叶子，然后返回根节点 1 即可。查询次数 $2\sqrt{n}$。

如果存在一次查询是成功的，那么此时黑点一定在这棵子树内（废话），而且子树深度为 $B$。

我们考虑二分出黑点的位置，但是有可能该子树内还存在着多个子树，我们无法确定黑点具体在哪棵子树。此时我们只需要再查询 $B$ 次叶子，由于子树深度为 $B$，那么查询后黑点一定会在根节点到子树根节点的这条链上，那么我们有了具体上下界，就可以二分了。查询次数 $2\sqrt{n}+\log n$。

关于二分：我们二分的是二分前黑点的位置，而不是二分时黑点当前的位置，考虑设一个变量 $cnt$ 代表二分时进行了多少次失败的查询，即黑点上移的距离，那么每次二分出 $mid$ 实际上查询的是 $mid$ 的 $cnt$ 级祖先，也就是查询黑点二分前是不是在 $mid$ 的子树里。

实现细节：最开始查询的时候，每进行一次失败的查询，需要删掉一整棵子树，然后求出新的长度为 $B$ 的链的端点。这部分实际上可以 $O(n)$ 暴力 dfs、暴力删除，由于查询次数只有 $\sqrt{n}$ 次，所以时间复杂度是 $O(Tn\sqrt{n})$ 的。同理，二分时由于要查询某点 $k$ 级祖先，实际上也可以暴力。

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#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=5e3+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f,B=71;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
vector<int>G[maxn];
int ask(int x){
	cout<<"? "<<x<<endl;
	int y=rd();return y;
}
void answer(int x){
	cout<<"! "<<x<<endl;
}
bool vis[maxn];
int dep[maxn],mxdep[maxn];
int fa[maxn];
int a[maxn],m;
int leaf;
void dfs(int x,int y){
	dep[x]=dep[y]+1,fa[x]=y,mxdep[x]=dep[x];
	bool ok=1;
	for(int u:G[x])if(u!=y&&!vis[u])dfs(u,x),mxdep[x]=max(mxdep[x],mxdep[u]),ok=0;
	if(ok)leaf=x;
}
void del(int x,int y){
	vis[x]=1;
	for(int u:G[x])if(u!=y&&!vis[u])del(u,x);
}
void init(){
	m=0;
	rep(i,1,n)G[i].clear(),vis[i]=0;
}
int getfa(int x,int k){
	if(!k||!x)return x;
	return getfa(fa[x],k-1);
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),init();
	rep(i,2,n){
		int x=rd(),y=rd();
		G[x].emplace_back(y),G[y].emplace_back(x);
	}
	bool ok=0;
	int rt=0;
	rep(_,1,B){
		dfs(1,0);
		int p=-1;
		rep(i,2,n)if(!vis[i]&&mxdep[i]-dep[i]==B){p=i;break;}
		if(p==-1)break;
		int r=ask(p);
		if(r==1){
			rt=p,ok=1;
			break;
		}
		del(p,fa[p]);
	}
	if(!ok){
		rep(i,1,B){
			int r=ask(leaf);
			if(r==1)return answer(leaf);
		}
		return answer(1);
	}
	int p=rt;
	while(p)a[++m]=p,p=fa[p];
	reverse(a+1,a+m+1);
	rep(i,1,B){
		int r=ask(leaf);
		if(r)return answer(leaf);
	}
	int l=1,r=m,res=-1,cnt=0;
	while(l<=r){
		int mid=l+r>>1;
		int an=getfa(a[mid],cnt);
//		printf("Debug: l=%d,r=%d,mid=%d\n",l,r,mid); 
		if(!an){
			l=mid+1,res=mid;
			continue;
		}
		int re=ask(an);
		if(re)l=mid+1,res=mid;
		else r=mid-1,++cnt;
	}
	assert(res!=-1);
	int an=getfa(a[res],cnt);
	if(!an)an=1;
	answer(an);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();
	while(_--)solve_the_problem();
}
/*
1
10
1 2
1 3
1 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
*/