ARC179D Portable Gate

题意简述

有一棵树 n 个点,你有一个门,你现在从一个你选定的点开始走,目标是所有点都至少访问一次。每次你可以选择:

  • 经过一条树边走到相邻点,花费 1
  • 将门放在当前点。
  • 将自己传送到门所在的点。

求最小花费。n2×105

分析

先考虑根(出发点)固定怎么做。

由于放门没有任何代价,我们可以视为在正常行走时随身把门也带上。正常情况下我们肯定是访问完一个子树后进入另一个子树继续访问,而显然门的位置一定在子树的祖先上,所以子树之间的花费相互独立。

再发现一个比较重要的性质:一个子树内若门在子树祖先上,则传送技能仅会使用至多一次。

证明:若使用两次以上,证明该点和门点之间的边要走两遍,那么我们将门放在该点上,该点和门点之间的边也要走两遍,但遍历该子树的代价不会变劣。

由此考虑树形 dp,设 fi,0/1 表示走完 i 子树内的所有点,是否需要返回根节点的最小花费(注意原题中也无需返回出发点),转移:

  • gu 表示 u 子树中离 u 距离最远的点的距离。
  • tu=2(sizu1)gu,表示在走 u 子树时门在 u 的祖先上时走完 u 子树且不返回根节点的最小花费,2(sizu1) 表示走完 u 子树且返回根节点的最小花费,若不返回根节点,肯定要尽可能的少走,我们贪心的选离 u 和离其最远的点这条链少走一遍,则减掉 gu
  • fx,1=uxmin(fu,1+2,tu+1),表示对于 x 的每个子树 u,遍历 u 子树可以选择把门给 u,然后该边(指 ux 之间的边,下同)一进一出花费 2,即 fu,1+2;也可以在该子树内选择使用传送技能,则门留在 x,无需返回 u,且该边一进不出花费 1,即 tu+1
  • fx,0=fx1maxux(min(fu,0+1,tu+1)min(fu,1+2,tu+1)),由于不回根节点,肯定终点会落在恰好一个子树内,则该子树无需返回根节点,其他子树需要返回根节点,考虑枚举这个子树,则在回根节点的基础上,减掉原来的贡献,加上新的贡献,即,可以选择把门留下(花费仍是 tu+1),也可以把门给 u,该边一进不出花费 1,即 fu,0+1

再考虑根不固定的情况,有了树形 dp 式子,直接换根即可。

简述换根流程:

  • 计算以该点为根时的答案。
  • 枚举子树,删掉子树的贡献(若是取最值可以同时保留次值,若最值是该子树贡献的则减掉最值加上次值),递归进子树。

代码

注意代码中的 tx 和题解中的 tx 定义有略微不同。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
vector<int>Graph[maxn];
int f[maxn][2],g[maxn],t[maxn];
int F[maxn][2],G[maxn],T[maxn];
int siz[maxn];
int ans;
void dfs1(int x,int y){
//	printf("Visit vertex %lld\n",x);
	siz[x]=1;
	for(int u:Graph[x])if(u^y){
		dfs1(u,x),siz[x]+=siz[u];
		g[x]=max(g[x],g[u]+1);
		f[x][1]+=min(f[u][1]+2,t[u]);
	}
	f[x][0]=f[x][1];
	for(int u:Graph[x])if(u^y){
		f[x][0]=min(f[x][0],f[x][1]-min(f[u][1]+2,t[u])+min(f[u][0]+1,t[u]));
	}
	t[x]=2*(siz[x]-1)-g[x]+1;
}
void dfs2(int x,int y){
	if(y){
		int sum=0,res=0;
		for(int u:Graph[x])if(u^y)sum+=min(f[u][1]+2,t[u]);
		sum+=min(F[y][1]+2,T[y]);
		res=sum;
		for(int u:Graph[x])if(u^y)res=min(res,sum-min(f[u][1]+2,t[u])+min(f[u][0]+1,t[u]));
		res=min(res,sum-min(F[y][1]+2,T[y])+min(F[y][0]+1,T[y]));
		ans=min(ans,res);
	}
	multiset<pii,greater<pii> >sf,sg;
	for(int u:Graph[x])if(u^y){
		sf.insert(mp(min(f[u][1]+2,t[u])-min(f[u][0]+1,t[u]),u));
		sg.insert(mp(g[u]+1,u));
	}
	if(y){
		sf.insert(mp(min(F[y][1]+2,T[y])-min(F[y][0]+1,T[y]),y));
		sg.insert(mp(G[y]+1,y));
	}
	sf.insert(mp(0,0)),sg.insert(mp(0,0));
	int rety=y?min(F[y][1]+2,2*(n-siz[x]-1)-G[y]+1):0;
	for(int u:Graph[x])if(u^y){
		F[x][1]=f[x][1]+rety-min(f[u][1]+2,2*(siz[u]-1)-g[u]+1);
		auto fit=sf.begin(),git=sg.begin();
		if(fit->se==u)++fit;
		F[x][0]=F[x][1]-fit->fi;
		if(git->se==u)++git;
		G[x]=git->fi,T[x]=2*(n-siz[u]-1)-G[x]+1;
		dfs2(u,x);
	}
}
void solve_the_problem(){
	n=rd();
	rep(i,2,n){
		int x=rd(),y=rd();
		Graph[x].emplace_back(y),Graph[y].emplace_back(x);
	}
	dfs1(1,0);
//	PU;rep(i,1,n)write(f[i][0],32),write(f[i][1],10);PU;
	ans=f[1][0];
	dfs2(1,0);
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/

作者:dcytrl

出处:https://www.cnblogs.com/dcytrl/p/18241173

版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

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