CF1278F Cards（斯特林数+二项式定理）

题意简述

有 $m$ 张牌，其中有一张是王牌。你现在可以洗 $n$ 次牌（每种牌堆序列等概率出现），然后查看牌堆顶的第一张牌。设 $x$ 为 $n$ 次洗牌中第一张牌是王牌的次数，则得分为 $x^k$。

求得分的期望值对 $998244353$ 取模的值。

$1\le n,m<998244353,k\le 5000$

分析

将答案形式化表述：

$$\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle \frac{(m-1{)}^i\cdot [(m-1)\cdot (m-1)!{]}^{n-i}}{m{!}^n}}\cdot i^k$$

化简：

$$=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}(\frac{1}{m}{)}^i\cdot (\frac{m-1}{m}{)}^{n-i}\cdot i^k$$

设 $a=\frac{1}{m},b=\frac{m-1}{m}$，则原式为

$$=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^i\cdot b^{n-i}\cdot i^k$$

用第二类斯特林数拆掉这个幂次：

$$=\sum _{i=0}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^i\cdot b^{n-i}\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\cdot i^{\underset{―}{j}}$$

其中 $S(i,j)$ 表示第二类斯特林数。

交换求和顺序：

$$\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\sum _{i=j}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{a}^i\cdot b^{n-i}\cdot {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}\cdot j!$$

注意只有 $i\ge j$ 的时候 $i^{\underset{―}{j}}$ 才有意义，式子才成立。

$$=\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\cdot j!\sum _{i=j}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})}{a}^i\cdot b^{n-i}$$

$$=\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\cdot j!\sum _{i=j}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i-j})}{a}^i\cdot b^{n-i}$$

考虑把后面那坨式子转化为二项式定理的形式：

$$=\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\cdot j!{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}\sum _{i=0}^{n-j}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i})}{a}^{i+j}\cdot b^{n-i-j}$$

根据二项式定理：

$$\sum _{i=0}^{n-j}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i})}{a}^{i+j}{b}^{n-i-j}=\sum _{i=0}^{n-j}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i})}{a}^i{a}^j{b}^{n-i-j}$$

$$=a^j\cdot \sum _{i=0}^{n-j}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-j}{i})}{a}^i{b}^{n-i-j}=a^j\cdot (a+b{)}^{n-j}=a^j$$

所以原式化为

$$\sum _{j=1}^{k}S(k,j)\cdot j!\cdot {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})}\cdot a^j$$

由于 $k\le 5000$，第二类斯特林数可以暴力递推算。

由于 $n,m$ 过大，无法计算阶乘和组合数。但是两者可以约分成 $\prod _{i=n-j+1}^{n}i$，这个东西就可以暴力 $O(k)$ 算了（递推也可以）。时间复杂度 $O(k^2)$。

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#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=5e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,k;
int S[maxm][maxm];
int ksm(int x,int y){
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void init(){
	S[0][0]=1;
	rep(i,1,k)rep(j,1,i)S[i][j]=(S[i-1][j-1]+j*S[i-1][j]%mod)%mod;
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd(),k=rd(),init();
	int ans=0,p=ksm(m,mod-2),c=1,mp=1;
	rep(i,0,k){
		ans=(ans+S[k][i]*c%mod*mp)%mod;
		c=c*(n-i)%mod,mp=mp*p%mod;
	}
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}