AGC001E BBQ Hard

题意简述

给定序列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ ，求 $\sum_{1 \leq i < j \leq n} (\binom{a_{i} + b_{i} + a_{j} + b_{j}}{a_{i} + b_{i}})$ 。

$n \leq 2 \times 10^{5}, a_{i}, b_{i} \leq 2 \times 10^{3}$ 。

分析

发现我们要求的 $(\binom{a_{i} + b_{i} + a_{j} + b_{j}}{a_{i} + a_{j}})$ 包含两个参数 $i, j$ ，如果直接求的话枚举 $i, j$ 的复杂度已经 $O (n^{2})$ ，不能通过。

发现 $a_{i}, b_{i}$ 非常小，考虑从这入手。考虑组合数的组合意义，我们知道 $(\binom{n + m}{n})$ 是从 $(0, 0)$ 且每次只能向坐标轴正方向走 $1$ 单位长度时到达 $(n, m)$ 的方案数。类似的， $(\binom{a_{i} + b_{i} + a_{j} + b_{j}}{a_{i} + b_{i}})$ 的组合意义就是从 $(0, 0)$ 按照上述走法走到 $(a_{i} + a_{j}, b_{i} + b_{j})$ 的方案数。

考虑快速求这个东西。我们考虑将坐标点平移，将起点从 $(0, 0)$ 平移到 $(- a_{i}, - b_{i})$ ，终点也随之平移到 $(a_{j}, b_{j})$ ，这样的话我们就让 $i, j$ 两个参数互相独立了。

如果不考虑 $i < j$ 的限制，原题就相当于对于每个起点、终点算方案数。考虑 dp，设 $f_{i, j}$ 表示走到坐标点 $(i, j)$ 的方案数，转移显然，初始给每个 $(- a_{i}, - b_{i})$ 的 dp 值加 1。由于坐标有负数，所以要整体加一个偏移量。

求出 $a n s = \sum_{i = 1}^{n} f_{a_{i}, b_{i}}$ 后，考虑 $i < j$ 的限制，首先减掉 $i = j$ 的答案（显然是 $\sum_{i = 1}^{n} (\binom{2 a_{i} + 2 a_{j}}{a_{i} + a_{j}})$ ，这显然可以 $O (n)$ 算。然后答案除以 $2$ 就行了。

时间复杂度 $O (n + w^{2})$ ，其中 $w = max ({max}_{i = 1}^{n} a_{i}, {max}_{i = 1}^{n} b_{i})$ ，可以通过。

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#include<cmath>
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#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P0 puts("0")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e3+5,inf=0x3f3f3f3f,delta=2e3+1,mod=1e9+7,inv2=5e8+4;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[maxn],b[maxn];
int f[maxm][maxm];
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int C[maxm<<1][maxm<<1];
void init(int lim=8e3){
	C[0][0]=1;
	rep(i,1,lim){
		C[i][0]=1;
		rep(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),init();rep(i,1,n)a[i]=rd(),b[i]=rd();
	rep(i,1,n)add(f[delta-a[i]][delta-b[i]],1);
	rep(i,1,2*delta)rep(j,1,2*delta)add(f[i][j],f[i-1][j]),add(f[i][j],f[i][j-1]);
	int ans=0;
	rep(i,1,n)add(ans,f[delta+a[i]][delta+b[i]]);
	rep(i,1,n)add(ans,mod-C[(a[i]+b[i])<<1][a[i]<<1]);
//	write(ans,32);
	write(1ll*ans*inv2%mod);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/