P3295 [SCOI2016] 萌萌哒（倍增并查集）

题意简述

有一个长为 $n$ 的数字序列 $s$ ，有 $q$ 组限制 $l_{1}, r_{1}, l_{2}, r_{2}$ 形如 $s_{l_{1}, \dots, r_{1}} = s_{l_{2} \dots, r_{2}}$ ，求满足所有限制的 $s$ 的方案数，数字序列不能有前导 0。

$n, q \leq 10^{5}$ ，保证 $[l_{1}, r_{1}]$ 和 $[l_{2}, r_{2}]$ 大小相等。

分析

字符之间的等量关系具有传递性，考虑并查集维护这些等量关系，但是暴力一个一个之间连边复杂度是 $O (n^{2})$ ，不可接受。

我们知道了区间的长度，所以它是个定值，考虑倍增（类似于 st 表的结构，第 $j$ 层的 $f_{i}$ 维护 $[i, i + 2^{j})$ 的等量关系），将区间二进制分解掉，分成 $O (\log n)$ 个区间，对每段区间分别在对应层合并。

合并完之后，考虑将每一层的信息下传。对于第 $j$ 层中在同一集合内的 $l, r$ （这表明 $[l, l + 2^{j})$ 和 $[r, r + 2^{j})$ 相等），将信息下传到 $j - 1$ 层的话就是合并 $[l, l + 2^{j - 1}), [r, r + 2^{j - 1})$ 以及 $[l + 2^{j - 1}, l + 2^{j}), [r + 2^{j - 1}, r + 2^{j})$ 。最终我们将信息下放到最后一层，这一层维护的就是每个单点之间的等量关系。每个集合内随意的填 0 到 9 之间的数字之一。由于不能有前导零，所以 $s_{1}$ 所属集合不能填 0。因此，设形成了 $m$ 个连通块，答案为 $9 \times 10^{m - 1}$ 。

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#include<cassert>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);++a)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);--a)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=(d))
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=(d))
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
using pii=pair<int,int>;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=4e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[maxn],s[maxn];
struct dsu{
	int f[maxn];
	int getf(int x){return f[x]==x?x:f[x]=getf(f[x]);}
	void merge(int x,int y){if(getf(x)^getf(y))f[getf(x)]=getf(y);}
	void init(int lim){rep(i,1,lim)f[i]=i;}
}d[21];
vector<int>G[maxn];
int col[maxn];
bool cmp(int x,int y){return col[x]<col[y];}
void solve_the_problem(){
	n=rd();rep(i,1,n)a[i]=rd();
	int M=log2(2*n);
	rep(j,0,M)d[j].init(2*n);
	rep(i,1,n)d[0].merge(i,2*n-i+1);
	rep(i,1,n){
		int l=i-a[i],r=i+a[i],ll=2*n-r+1,len=r-l+1;
		per(j,M,0)if(len&(1<<j))d[j].merge(l,ll),l+=(1<<j),ll+=(1<<j);
	}
	per(j,M,1){
		rep(i,1,2*n-(1<<j)+1){
			int fa=d[j].getf(i);
			if(fa^i)d[j-1].merge(fa,i),d[j-1].merge(fa+(1<<(j-1)),i+(1<<(j-1)));
		}
	}
	rep(i,1,n){
		int x=i-a[i]-1,y=i+a[i]+1;
		if(x<1||y>n)continue;
		int xx=d[0].getf(x),yy=d[0].getf(y);
		if(xx==yy)return (void)PN;
		G[xx].emplace_back(yy),G[yy].emplace_back(xx);
	}
	rep(i,1,n){
		int fa=d[0].getf(i);
		if(col[fa]){s[i]=col[fa];continue;}
		sort(G[fa].begin(),G[fa].end(),cmp);
		int mex=1,lst=0;
		for(int u:G[fa]){
			if(col[u]-col[lst]>=2)break;
			mex=max(mex,col[u]+1),lst=u;
		}
		col[fa]=mex,s[i]=col[fa];
	}
	PY;rep(i,1,n)write(s[i],32);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/