CF103E Buying Sets（最大权闭合子图模型）

题意简述

有 $n$ 个元素和 $n$ 个集合，保证任意 $k$ 个集合的并 $\ge k$。

每个集合有权值 $a_i$，你需要选出一些集合使得集合数等于集合并大小，并在此基础上最小化选出的集合权值和。

$n\le 300,|a_i|\le {10}^6$。

分析

将集合和元素看成物品，我们发现，若选择了一个集合，则我们要强制选择集合内的元素，这刚好是闭合子图的定义，将集合向集合内包含的点连边，题目相当于求最小权闭合子图，将权值取反后就是最大权闭合子图，最小割求解。如何求解最大权闭合子图及证明

继续考虑如何满足选出集合大小等于并集大小的限制。发现题目保证任意 $k$ 个集合的并 $\ge k$，这样我们就相当于最小化选出的并集大小最小。考虑给每个元素赋上一个额外的权值，为了强制让选出的并集大小最小，我们要让这个额外权值大小比所有集合权值之和还要大，让其为 $inf$，这里 $inf$ 是任意一个 $\ge 3\times {10}^8$ 的值（注意由于最终求的是最大权闭合子图，所以实际建图中这个权值是 $-inf$，以下额外赋的权值大小皆为取反前的权值）。为了不影响答案，同样给每个集合赋权 $-inf$，然后这道题就做完了。

注意：

• 实际建图中由于集合和元素间的边不能断（而额外赋的权值只是为了不多断，实际问题中是必须要断的），因此也要给这些边赋无穷大的权值，而且比 $inf$ 还要大，否则会出现断掉集合和元素之间的边比割掉元素与汇点的边更优的情况。
• 由于可以选空集，所以答案要与 $0$ 取 max。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define lowb lower_bound
#define uppb upper_bound
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=605,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,S,T;
namespace MaxFlow{
	struct edge{
		int to,nxt,w;
	}a[maxm];
	int head[maxn],edges;
	void add_edge(int x,int y,int z){
		a[++edges]=(edge){y,head[x],z};
		head[x]=edges;
	}
	void add(int x,int y,int z){add_edge(x,y,z),add_edge(y,x,0);}
	int dis[maxn];
	int rou[maxn];
	void init(){
		rep(i,1,T)head[i]=0;edges=1;
	}
	bool bfs(){
		rep(i,1,T)dis[i]=0;
		queue<int>q;
		q.push(S),dis[S]=1;
		while(!q.empty()){
			int now=q.front();q.pop();
			rou[now]=head[now];
			graph(i,now,head,a){
				int u=a[i].to;
				if(a[i].w&&!dis[u]){
					dis[u]=dis[now]+1;
					if(u==T)return 1;
					q.push(u);
				}
			}
		}
		return 0;
	}
	int dfs(int x,int flow){
		if(x==T)return flow;
		int res=0;
		for(int &i=rou[x];i;i=a[i].nxt){
			int u=a[i].to;
			if(a[i].w&&dis[u]==dis[x]+1){
				int tmp=dfs(u,min(a[i].w,flow));
				flow-=tmp,res+=tmp,a[i].w-=tmp,a[i^1].w+=tmp;
				if(!flow)return res; 
			}
		}
		return res;
	}
	int maxflow(){
		int res=0;
		while(bfs())res+=dfs(S,llinf);
		return res;
	}
}
using namespace MaxFlow;
void solve_the_problem(){
	n=rd(),S=2*n+1,T=2*n+2;init();
	rep(i,1,n){
		int x=rd(),y;
		rep(j,1,x)y=rd(),add(i,y+n,llinf);
	}
	int ans=0;
	rep(i,1,n){int x=rd();add(S,i,inf-x),ans+=inf-x;}
	rep(i,1,n)add(i+n,T,inf);
	ans-=maxflow();
	write(min(0ll,-ans));
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/