CF1697F Too Many Constraints

题意简述

有一个长度为 $n$ 的整数序列 $a$，值域为 $[1,k]$，有 $m$ 条限制：

• 1 i x，表示 $a_i\ne x$
• 2 i j x，表示 $a_i+a_j\le x$
• 3 i j x，表示 $a_i+a_j\ge x$

试构造一个可能的 $a$，或报告无解。

$n,m\le 2\times {10}^4,k\le 10$。

分析

看上去像是一个差分约束题，但差分约束是无论如何也做不了限制 1 的。也可能是我太菜了

考虑 2-SAT，但发现这不是 2-SAT 的形式。

发现值域很小，考虑对于每个 $a_i$ 拆点，$(i,k)$ 表示 $a_i\le k$ 是否存在，$yes(i,k)$ 表示满足 $a_i\le k$，$no(i,k)$ 表示不满足 $a_i\le k$，即 $a_i>k$。

为什么不能拆成 $a_i=k$？若是这样，我们就需要保证拆出来的这 $k$ 个点中必须选恰好一个点，而这种限制很难用 2-SAT 刻画。

考虑每个限制：

• 声明：下文会出现“连边 $u\to v$ 及其反边”的字样，此处指根据 2-SAT 的对称性，$u\to v$ 时也需要满足 $op{p}_u\to op{p}_v$，其中 $op{p}_u$ 表示 $u$ 的对立点，反点的对立点是正点，正点的对立点是反点。
• 对于限制 1，连边 $yes(i,x)\to yes(i,x-1)$ 及其反边，表示“若 $a_i\le x$ 则满足 $a_i\le x-1$，也就是强制不能选 $a_i=x$”。
• 对于限制 2：
  • $a_i+a_j\le x$，这里由于 $a_j\ge 1$，所以 $a_i\le x-1$，所以连边 $no(i,x-1)\to yes(i,x-1)$ 及其反边。
  • 枚举 $a_i>p$，由于 $a_i+a_j\le x$，所以 $a_j<x-p$，也即 $a_i\le x-p-1$，连边 $no(i,p)\to yes(j,x-p-1)$ 及其反边。
  • 注意要保证 $1\le p\le k,1\le x-p-1\le p$。
  • 以上关于 $a_i$ 的连边 $a_j$ 都一样连。
• 对于限制 3：
  • $a_i+a_j\ge x$，这里由于 $a_j\le k$，所以 $a_i\ge x-k$，所以连边 $yes(i,x-k-1)\to no(i,x-k-1)$。
  • 枚举 $a_i\le p$，由于 $a_i+a_j\ge x$，所以 $a_j\ge x-p$，所以连边 $yes(i,p)\to no(j,x-p-1)$ 及其反边。
  • 同上，注意保证 $1\le p\le k,1\le x-p-1\le k$。
  • 同上，以上关于 $a_i$ 的连边 $a_j$ 都一样连。
• 最后别忘了不能让 $a_i>k$，此时连边 $no(i,k)\to yes(i,k)$。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=4e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,k;
vector<int>G[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],dfncnt,sta[maxn],tp;
int scc[maxn],sc;
bool vis[maxn];
void tarjan(int x){
	dfn[x]=low[x]=++dfncnt,sta[++tp]=x,vis[x]=1;
	for(int u:G[x]){
		if(!dfn[u])tarjan(u),low[x]=min(low[x],low[u]);
		else if(vis[u])low[x]=min(low[x],dfn[u]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		int y;++sc;
		do{y=sta[tp--],vis[y]=0,scc[y]=sc;}while(x^y);
	}
}
void init(){
	dfncnt=tp=sc=0;
	rep(i,1,2*n*k)dfn[i]=low[i]=scc[i]=vis[i]=0,G[i].clear();
}
int opp(int x){return x>n*k?x-n*k:x+n*k;}
int gii(int x,int y){return (x-1)*k+y;}
void add(int x,int y){G[x].pb(y),G[opp(y)].pb(opp(x));}
void ban(int x){G[x].pb(opp(x));}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd(),k=rd();
	init();
	rep(i,1,n)rep(j,1,k-1)add(gii(i,j),gii(i,j+1));
	rep(i,2,n)rep(j,1,k)add(gii(i,j),gii(i-1,j));
	ban(gii(n,k)+n*k);
	rep(i,1,m){
		int op=rd(),x=rd(),y=rd(),z;
		if(op==1){
			if(y==1)ban(gii(x,y));
			else add(gii(x,y),gii(x,y-1));
		}else if(op==2){
			z=rd();
			if(z-1<k)ban(gii(x,z-1)+n*k),ban(gii(y,z-1)+n*k);
			rep(p,1,k){
				if(z-p-1>=1&&z-p-1<=k)add(gii(x,p)+n*k,gii(y,z-p-1)),add(gii(y,p)+n*k,gii(x,z-p-1));
			}
		}else{
			z=rd();
			if(z-k-1>=1)ban(gii(x,z-k-1)),ban(gii(y,z-k-1));
			rep(p,1,k){
				if(z-p-1>=1&&z-p-1<=k)add(gii(x,p),gii(y,z-p-1)+n*k),add(gii(y,p),gii(x,z-p-1)+n*k);
			}
		}
	}
	rep(i,1,2*n*k)if(!dfn[i])tarjan(i);
	rep(i,1,n*k)if(scc[i]==scc[i+n*k])return (void)PW;
	rep(i,1,n){
		rep(j,1,k){
			if(scc[gii(i,j)]<scc[gii(i,j)+n*k]){
				write(j,32);break;
			}
		}
	}
	P__;
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/