CF1215F Radio Stations

一种自认为比较好想、好理解、好写的做法。

题意简述

有 $n$ 个电站，频率范围是 $l_i,r_i(1\le l_i\le r_i\le m)$，有 $m1$ 条限制形如 $x,y$，表示 $x,y$ 电站至少选一个；同时有 $m2$ 条限制形如 $x,y$，表示 $x,y$ 电站至多选一个；同时要满足选出的电站的频率范围有交。求解的存在性。

输入格式：第一行四个整数 $m1,n,m,m2$，接下来 $m1$ 行描述限制，接下来 $n$ 行描述频率范围，接下来 $m2$ 行描述限制。

输出格式：若无解输出 -1，若有解，第一行分别输出选出电站数量 $k$ 和选出的电站的频率范围的交集中的任意一个整数元素 $f$，第二行以任意顺序输出选出的电站编号。

$n,m,m1,m2\le 4\times {10}^5$。

备注：本文中的 $n,m,m1,m2$ 分别代表了原题的 $p,M,n,m$。

分析

看到这种限制立即想到 2-SAT。

那 $m1+m2$ 条限制就是纯 2-SAT 板子，不再赘述。

考虑怎么处理区间有交的问题，发现这个限制相当于我们不能选两个无交的区间，但是暴力两两之间连边是 $O(n^2)$ 的。

发现区间 $[l_i,r_i]$ 与区间 $[l_j,r_j]$ 无交当且仅当 $r_i<l_j$ 或 $r_j<l_i$。而我们发现 $l_j>r_i$ 的 $j$ 是一段后缀，$r_j<l_i$ 的 $j$ 是一段前缀。

那么做法就呼之欲出了。使用前缀和优化建图（不会前缀和优化建图见 Riddle），每个前缀点 $pr{e}_i$ 连向以该点为右端点的电站的反点，每个后缀点 $se{c}_i$ 连向以该点为左端点的电站的反点。根据定义有连边 $pr{e}_i\to pr{e}_{i-1},se{c}_i\to se{c}_{i+1}$。其次，对于每个点 $i$，有连边 $i\to pr{e}_{l_i-1},i\to se{c}_{r_i+1}$，注意此时的 $i$ 为 $i$ 的正点。

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