ABC240Ex Sequence of Substrings

题意简述

有长度为 $n$ 的 01 串，你现在要选出 $k$ 个两两无交子串，使得将 $k$ 个子串按照出现位置排序后，后者的字典序严格比前者大。最大化 $k$。

$\mathit{n}\mathbf{\le }\mathbf{2}\mathbf{\times }{\mathbf{10}}^{\mathbf{4}}$。

分析

首先的首先观察数据范围可知此题应该是个线性根号对数的时间复杂度

首先有个显然的 $O(n^2\log n)$ 的做法：

将 $n^2$ 个子串排序，然后设 $f_i$ 为考虑了排名前 $i$ 的子串的最大答案，$s_i$ 为排名为 $i$ 的子串。转移显然有 $f_i=\underset{j<i,s_j<s_i}{max}{f}_j+1$，也显然可以通过树状数组维护下标维度支持单点修改、前缀查询最值的方式优化。

怎么进一步优化？

发现它是最优化问题而不是计数问题，考虑能否剪掉必定不优的一些决策。

通过合理的胡猜可得：存在最优解使得选出的子串长度 $\le \sqrt{2n}$。

证明可以考虑若存在选出的子串中相邻的两个子串长度差 $\ge 2$ 的话，设较短串的长度为 $len$，我们可以通过删掉较长串 $len+2$ 之后的部分，这样也是合法的，因为出现不同的那一位必定在 $len+1$ 之前。显然贪心的选更短的串是不劣的。

在最优方案中，即使再不济我们也能使选出来的串相邻之间长度 $=1$，这样总长就是 $\frac{k(k+1)}{2}$ 了，$\frac{k(k+1)}{2}\le n\to k(k+1)\le 2n\to k\le \sqrt{2n}$，我们只需要取出长度 $\le \sqrt{2n}$ 的子串排序即可。时间复杂度 $O(n\sqrt{n}\log n)$。

由于我做 SA 做傻了，排序我使用的是 SA+ST 表判断大小关系的，而不是较为简单的 Trie 树。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define lowb lower_bound
#define uppb upper_bound
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=25005,maxm=2e7+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,B;
int len; 
char s[maxn];
struct str{
	int l,r;
}q[maxm];
int sa[maxn],rk[maxn],hi[maxn];
int id[maxn],prk[maxn<<1],nrk[maxn],cnt[maxn];
int g[maxn][20];
bool qwq(int x,int y,int z){
	return prk[x]==prk[y]&&prk[x+z]==prk[y+z];
}
void SA(){
	int m=127;
	rep(i,1,n)cnt[rk[i]=s[i]]++;
	rep(i,2,m)cnt[i]+=cnt[i-1];
	per(i,n,1)sa[cnt[rk[i]]--]=i;
	for(int j=1,p;j<n;j<<=1,m=p){
		p=0;rep(i,n-j+1,n)id[++p]=i;
		rep(i,1,n)if(sa[i]>j)id[++p]=sa[i]-j;
		rep(i,1,m)cnt[i]=0;
		rep(i,1,n)cnt[nrk[i]=rk[id[i]]]++;
		rep(i,2,m)cnt[i]+=cnt[i-1];
		per(i,n,1)sa[cnt[nrk[i]]--]=id[i];
		rep(i,1,n)prk[i]=rk[i];
		p=0;rep(i,1,n)rk[sa[i]]=qwq(sa[i],sa[i-1],j)?p:++p;
		if(n==p)break;
	}
	int w=0;
	rep(i,1,n){
		if(w)w--;
		while(s[i+w]==s[sa[rk[i]-1]+w])w++;
		hi[rk[i]]=w;
	}
	rep(i,1,n)g[i][0]=hi[i];
	int M=log2(n);
	rep(j,1,M)rep(i,1,n-(1<<j)+1)g[i][j]=min(g[i][j-1],g[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int query(int l,int r){
	if(l>r)return inf;
	int p=log2(r-l+1);
	return min(g[l][p],g[r-(1<<p)+1][p]);
}
bool cmp(str x,str y){
	int rx=rk[x.l],ry=rk[y.l];
	if(rx>ry)swap(rx,ry);
	int lcp=query(rx+1,ry);
	if(lcp>=min(x.r-x.l+1,y.r-y.l+1))return x.r-x.l<y.r-y.l;
	return s[x.l+lcp]<s[y.l+lcp];
}
bool awa(str x,str y){
	if(x.r-x.l!=y.r-y.l)return 0;
	int rx=rk[x.l],ry=rk[y.l];
	if(rx>ry)swap(rx,ry);
	int lcp=query(rx+1,ry);
	return lcp>=x.r-x.l+1;
}
int c[maxn];
int f[maxm];
void add(int x,int y){while(x<=n)c[x]=max(c[x],y),x+=lowbit(x);}
int qry(int x){int res=0;while(x)res=max(res,c[x]),x-=lowbit(x);return res;}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),B=sqrt(2*n);scanf("%s",s+1);SA();
	rep(i,1,n)rep(j,i,min(i+B,n))q[++len]=(str){i,j};
	sort(q+1,q+len+1,cmp);
//	rep(i,1,len)write(q[i].l,32),write(q[i].r,10);
	int lst=1,ans=0;
	rep(i,1,len){
		if(!awa(q[i],q[i-1])){
			rep(j,lst,i-1)add(q[j].r,f[j]);
			lst=i;
		}
		f[i]=qry(q[i].l-1)+1,ans=max(ans,f[i]);
//		write(lst,32);
	}
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/