Gym100962K Korn

题意简述

给定 $n$ 点 $m$ 边的无向图，定义一个节点是“不可避免的”当且仅当存在方案使得从该点出发，经过每条边恰好一遍，并最终回到出发点的数量，并给出满足这个条件的所有点。

$n\le 2\times {10}^5,m\le 5\times {10}^5$

分析

如果原图不存在欧拉回路，那么肯定无解。

否则，如果存在一个环，使得一个点不在一个环上，那么这个点就不满足条件（因为最终会在这个环中走成死路）。

一个经典错误做法：建出 dfs 树，对于每条非树边 $(u,v)$，将 $u,v$ 之间链加 1，最终点权为 $m-n+1$ 的点就是满足条件的。

错误原因：有可能存在环包含两条或多条非树边。

进入正题，建出了 dfs 树，则若存在下列情况则无解：

• 子树中有至少一条边指向子树内的点，此时子树内构成一个环孤立该点。
• 子树中有至少两条边指向该点的祖先，此时情况如下图。

（纠正：环是 1345）

判断子树内是否有边指向父亲，我们可以使用 low 的定义，于是求一下 tarjan，对于 $x$ 点来说，设 $res$ 表示子树内能使 $x$ 在环上的边的数量，设 $u$ 与 $x$ 有边相连，此时若 $u$ 是 $x$ 的直系儿子且 $lo{w}_u<df{n}_x$（注意不要取等，否则会将树边也算进去），就将 res++；若 $u$ 是 $x$ 的子孙或祖先（非直系儿子和直系父亲），将 res++。此时，由于我们一个子树内至多会计算一条边，所以两条边的情况就不会算进去。若子树内有指向子树内的边，也不会被算到 res 里。若 $res=m-n+1$，则该点合法。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
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#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
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#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
int dfn[maxn],low[maxn],dfncnt;
vector<int>G[maxm];
bool du[maxn];
vector<int>ans;
void tarjan(int x,int y){
	dfn[x]=low[x]=++dfncnt;int res=0;
	for(int u:G[x]){
		if(!dfn[u]){
			tarjan(u,x),low[x]=min(low[x],low[u]);
			if(low[u]<dfn[x])res++;
		}else if(u^y){
			res++,low[x]=min(low[x],dfn[u]);
		}
	}
	if(res==m-n+1)ans.pb(x);
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		int x=rd(),y=rd();
		G[x].pb(y),G[y].pb(x);
		du[x]^=1,du[y]^=1;
	}
	rep(i,1,n)if(du[i])return (void)puts("0");
	tarjan(1,0);
	sort(ans.begin(),ans.end());
	write(ans.size(),10);
	for(int i:ans)write(i,32);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/