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P2934 Safe Travel G(最短路树)

https://www.luogu.com.cn/problem/P2934

求解原图的最短路树,对于每个点,强制不能走的边为最短路树上该点与他父亲的连边。

考虑新的最短路长什么样。我们发现,新的最短路一定包含恰好一条非树边和若干条树边(经过第一条非树边我们一定会走树边,因为走树边是最短路),设 disi1i 的最短路,x 为要求答案的点,我们需要找到一条非树边 uv 使得 vx,ux,经过这条非树边的最短路就是 disu+wuv+disudisx,发现 x 是定值,原题转化为求 min(disu+disv+wuv)

可以发现,一条边能参与某个点 x 的答案的决策,当且仅当 xuv 的链上且 xlca(u,v)

这时可以考虑树上差分,将 u,v 加 1,将 lca(u,v) 减 2,dfs 过程中,你可以维护一棵权值线段树/树状数组,在上面做线段树二分/树状数组二分,合并采用树上启发式合并;你也可以对于每个点维护一个 set,支持与儿子的 multiset 合并,插入某数,删除某数,查询时直接取开始元素即可,可以做到 O(nlog2n)

点击查看代码
//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e5+5,maxm=2e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
int fa[maxn];
int u[maxm],v[maxm],w[maxm];
vector<int>G[maxn];
struct edge{
	int to,nxt,w;
}a[maxm<<1];
int head[maxn],edges;
void add_edge(int x,int y,int z){
	a[++edges]=(edge){y,head[x],z};
	head[x]=edges;
}
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
map<int,bool>tredge[maxn];
void dij(int s){
	priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;
	mem(dis,0x3f);
	dis[s]=0,q.push(mp(0,s));
	while(!q.empty()){
		pii now=q.top();q.pop();
		if(vis[now.se])continue;vis[now.se]=1;
		graph(i,now.se,head,a){
			int u=a[i].to;
			if(dis[u]>now.fi+a[i].w){
				dis[u]=now.fi+a[i].w,fa[u]=now.se;
				q.push(mp(dis[u],u));
			}
		}
	}
}
int ans[maxn];
int lg[maxn],f[maxn][20],dep[maxn];
void dfs_0(int x,int y){
	dep[x]=dep[y]+1,f[x][0]=y;
	rep(i,1,lg[dep[x]])f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for(int u:G[x])dfs_0(u,x);
}
vector<int>op[maxn];
int lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
	while(dep[x]^dep[y])x=f[x][lg[dep[x]-dep[y]]-1];
	if(x==y)return x;
	per(i,16,0)if(f[x][i]^f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}
void merge(multiset<int>&x,multiset<int>&y){
	if(x.size()<y.size())swap(x,y);
	while(!y.empty())x.insert(*y.begin()),y.erase(y.begin());
}
multiset<int>s[maxn];
void dfs(int x){
	for(int u:G[x])dfs(u),merge(s[x],s[u]);
	for(int u:op[x]){
		if(u>0)s[x].insert(u);
		else s[x].erase(s[x].find(-u));
	}
	if(s[x].size())ans[x]=*s[x].begin();
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd();
	rep(i,1,m){
		u[i]=rd(),v[i]=rd(),w[i]=rd();
		add_edge(u[i],v[i],w[i]),add_edge(v[i],u[i],w[i]);
	}
	dij(1);
	rep(i,2,n)G[fa[i]].pb(i),tredge[fa[i]][i]=tredge[i][fa[i]]=1;
	rep(i,1,n){lg[i]=lg[i-1];if((1<<lg[i])==i)lg[i]++;}
	dfs_0(1,0);
	rep(i,1,m)if(!tredge[u[i]][v[i]]){
		int x=u[i],y=v[i],z=lca(u[i],v[i]);
		int val=dis[x]+dis[y]+w[i];
		op[x].pb(val),op[y].pb(val);
		op[z].pb(-val),op[z].pb(-val);
	}
	rep(i,1,n)sort(op[i].begin(),op[i].end(),greating);
	mem(ans,-1);
	dfs(1);
	rep(i,2,n){
		if(ans[i]==-1)PW;
		else write(ans[i]-dis[i],10);
	}
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*
6 9
1 2 3
1 4 7
2 3 2
3 6 4
5 6 2
4 5 1
4 6 8
1 6 9
3 4 4
*/

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