CF337E Divisor Tree

题意简述

定义 Divisor Tree 为一棵树：

• 叶子上的数为质数。
• 非叶子上的数为其所有儿子上的数的乘积。

给定 $n$ 个数 $a_i$，你需要让每个 $a_i$ 都在 Divisor Tree 上出现，并最小化 Divisor Tree 的节点数量。

$n\le 8,a_i\le {10}^6$。

分析

显然 Divisor Tree 上只能有质数和 $a_i$ 出现。若 Divisor Tree 是一个森林，则还需要建立一个虚根节点使森林变为一棵树。

若每个数都暴力与他的所有质因子连边显然不优，但我们发现，有些数可以作为其他数的儿子共用质因子，从而节省了节点数。

将序列排序，那么每个点的父亲只能是它前面的点。

考虑爆搜每个点的根节点是谁（算上虚拟根节点）。

如何判断合法性？对于每个点，算出其所有儿子的质因子可重集合，若该可重集为该点质因子可重集合的子集，则方案合法。

如何计算点数？预处理每个点的质因子次数之和 $su{m}_i$，分类讨论：

• 无儿子，若是质数则为 $1$，否则为 $su{m}_i+1$。
• 有儿子，答案为 $su{m}_i-\sum _{u\in i}su{m}_u+1$。

若虚拟节点有两个或以上儿子，则也要算上虚拟节点。

时间复杂度大约为 $O(n\sqrt{a_i}+n^n)$。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=1e6+5,maxm=15,inf=0x7fffffff;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[maxm];
int p[maxn],cnt;
bool flag[maxn];
void xxs(int lim=1e6){
	rep(i,2,lim){
		if(!flag[i])p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=lim;j++){
			flag[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0)break;
		}
	}
}
int ans=inf;
vector<int>G[maxm];
vector<pii>v[maxm],w;
int sum[maxm];
using vpi=vector<pii>;
bool merge(vpi &x,vpi y){
	for(pii i:y){
		bool ok=0;
		for(pii &j:x){
			if(j.fi==i.fi){
				j.se-=i.se,ok=1;
				break;
			}
		}
		if(!ok)return 0;
	}
	return 1;
}
void dfs(int step){
	if(step==n+1){
		int res=n+1;
		rep(i,1,n){
			if(G[i].empty()){
				if(sum[i]^1)res+=sum[i];
			}else{
				w=v[i];
				int num=sum[i];
				for(int u:G[i]){
					bool ok=merge(w,v[u]);
					num-=sum[u];
					if(!ok)res=inf;
				}
				sort(w.begin(),w.end());
				for(auto i:w)if(i.se<0)res=inf;
				res+=num;
			}
		}
		if(G[0].size()<=1)res--;
		ans=min(ans,res);
		return;
	}
	rep(i,0,step-1)if(a[i]%a[step]==0){
		G[i].pb(step);dfs(step+1);G[i].pop_back();
	}
}
void solve_the_problem(){
	n=rd();rep(i,1,n)a[i]=rd();
	sort(a+1,a+n+1,greating);
	rep(i,1,n){
		int m=a[i];
		rep(j,1,cnt){
			if(m%p[j]==0){
				int num=0;
				while(m%p[j]==0)sum[i]++,m/=p[j],num++;
				v[i].pb(mp(p[j],num));
			}
		}
		if(m!=1)v[i].pb(mp(m,1)),sum[i]++;
	}
	dfs(1);
	write(ans);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;xxs();while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/