CF1924D Balanced Subsequences

题意简述

有 $n$ 个左括号和 $m$ 个右括号，求最长合法括号子序列长度为 $2k$ 的括号序列的数量，对 ${10}^9+7$ 取模。多组数据。

$T\le 3\times {10}^3,n,m,k\le 2\times {10}^3$

分析

可能需要的前置知识：

如何求一个字符串的最长合法括号子序列？

维护一个括号栈，若遇到左括号则直接压入栈，若遇到右括号则取出栈顶左括号匹配（此时最长合法括号子序列长度 +2），若没有，则该右括号失配。

下面进入正题。

首先，长度为 $2k$ 的合法括号序列包含 $k$ 个左括号和 $k$ 个右括号。

首先判掉 $k>n,k>m$ 的情况，那么将会剩下 $n-k$ 个废物左括号和 $m-k$ 个废物右括号。

首先肯定是废物右括号在前，废物左括号在后，否则这一对废物括号会扩充合法括号子序列的长度。

将括号序列抽象成折线，初始位置在 $(0,0)$，加入一个括号就让横坐标 +1，此时若该括号为左括号则让纵坐标 +1，否则让纵坐标 -1。也就是说，折线要么往右上方走，要么往右下方走。

而我们会有 $m-k$ 个废物右括号会失配，所以最终在某一横坐标之下，纵坐标会到达 $k-m$，因为当废物右括号失配时，根据前置知识，此时的括号栈中没有多余的左括号了，也就是说前面的括号肯定全部匹配完毕了。

而最终我们要达到坐标 $(n+m,n-m)$。

题意转化为求一条 $(0,0)$ 开始，$(n+m,n-m)$ 结束，路径上要到达并不能越过 $y=k-m$ 的折线数量。

发现，到达并不能越过 这个限制实在是太紧了。考虑类似将 $=k$ 转化为 $\le k-\le k-1$，设 $an{s}_k$ 为允许折线越过 $y=k-m$ 的方案数，则原题答案转化为 $an{s}_k-an{s}_{k-1}$。

考虑怎么求 $an{s}_k$。考虑折线第一次到达 $y=k-m$ 的那个点，将那个点之后的折线按照 $y=k-m$ 轴对称一下，原题又转化为从 $(0,0)$ 走到 $(n+m,2k-n-m)$ 的方案数，这是一个组合数，为 $an{s}_k={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}$。（简单推式子可得）

所以最终答案为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k})}-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k-1})}$。

代码仅展示关键部分。

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int n,m,k;
int C[maxn][maxn];
void init(int lim){
	C[0][0]=1;
	rep(i,1,lim){
		C[i][0]=1;
		rep(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
	}
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),m=rd(),k=rd();
	if(k>m||k>n)return (void)puts("0");
	write((C[n+m][k]-C[n+m][k-1]+mod)%mod,10);
}
/*

*/