Ybt 金牌导航 6.2.G. 最短时间 / UOJ284 快乐游戏鸡（长链剖分+线段树+启发式合并）

题意简述

有一个大小为 $n$ 的有根树，根为 $1$ 。每个节点上有一个敌人，强度为 $w_{i}$ 。

你要从 $s$ 出发打怪，设你当前所处点为 $u$ ，你可以花费 1 单位时间经过一条边到达 $u$ 的某个儿子，然后打怪。若你的死亡次数小于 $w_{i}$ ，则会死亡并回到起点。不考虑 $s, t$ 上的敌人，求从 $s$ 出发最终到达 $t$ 的最短时间。

多次询问 $s, t$ ，每次询问死亡次数清零。保证 $t$ 在 $s$ 子树内。

$n, q \leq 3 \times 10^{5}$ 。

分析

设链 $s, t$ 上的最大值为 $W$ ，则我们能够到达 $t$ 当且仅当死亡次数大于等于 $W$ 。

无论在哪里死亡都会回到起点，则我们希望死亡的地方离 $s$ 越近越好。

但一个地方的怪刷到 $\geq w_{i}$ 就没法接着刷了，所以我们希望同一深度下挑 $w_{i}$ 最大的点去刷怪，然后前往下一深度去刷。

我们如何知道将死亡次数刷到 $W$ 的最短时间呢？

设 $f_{i}$ 为 $s$ 子树子树内深度 $\leq i$ （ $s$ 深度为 $0$ ）的 $w_{i}$ 的最大值，再设 $d$ 为最小的使 $f_{d} \geq W$ 。

则答案即为 $W \times d - \sum_{i = 1}^{d - 1} f_{i} + dist (s, t)$ ，意义就是相当于假设每次死亡都走 $d$ ，但其中有 $f_{d - 1}$ 次可以少走 $1$ ，而在在其中又有 $f_{d - 2}$ 次可以再少走 $1$ ，以此类推。

我们可以建一棵线段树来维护 $f_{i}$ ，插入新点时找到第一个 $\geq f_{i}$ 的位置 $p s$ ，将 $[1, p s - 1]$ 的区间覆盖为 $f_{i}$ 。查询时直接在线段树上二分即可。

如何维护这个线段树？

使用启发式合并，可以做到 $O (n \log^{2} n)$ ，可以但是有点悬。

发现它以深度为下标，那么直接上长剖，可以做到 $O (n \log n)$ 。

其次发现我们无法对于每个点（即使是对于每条长链的顶点）都开一个线段树，所以采用动态开点。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin);
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
typedef long long i64;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(i64 x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=3e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,Q,a[maxn];
i64 ans[maxn];
vector<int>G[maxn];
vector<pii>q[maxn];
struct node{
	int mx=0,tag=0,ls=0,rs=0;
	i64 sum=0;
}d[maxn<<2];
int rt[maxn];
int cnt;
struct segtree{
	void pu(int p){
		d[p].mx=max(d[d[p].ls].mx,d[d[p].rs].mx);
		d[p].sum=d[d[p].ls].sum+d[d[p].rs].sum;
	}
	void pt(int p,int l,int r,int v){
		d[p].sum=1ll*(r-l+1)*v,d[p].mx=d[p].tag=v;
	}
	void pd(int p,int l,int r){
		int mid=l+r>>1;
		if(d[p].tag){
			pt(d[p].ls,l,mid,d[p].tag),pt(d[p].rs,mid+1,r,d[p].tag);
			d[p].tag=0;
		}
	}
	int bd(int l,int r){
		int p=++cnt;
		if(l==r)return p;
		int mid=l+r>>1;
		d[p].ls=bd(l,mid);
		d[p].rs=bd(mid+1,r);
		return p;
	} 
	void upd(int ll,int rr,int v,int l,int r,int p){
		if(ll>rr)return;
		if(ll<=l&&r<=rr)return pt(p,l,r,v);
		int mid=l+r>>1;pd(p,l,r);
		if(ll<=mid)upd(ll,rr,v,l,mid,d[p].ls);
		if(rr>mid)upd(ll,rr,v,mid+1,r,d[p].rs);
		pu(p);
	}
	i64 qry(int ll,int rr,int l,int r,int p){
		if(ll>rr)return 0; 
		if(ll<=l&&r<=rr)return d[p].sum;
		int mid=l+r>>1;i64 res=0;pd(p,l,r);
		if(ll<=mid)res+=qry(ll,rr,l,mid,d[p].ls);
		if(rr>mid)res+=qry(ll,rr,mid+1,r,d[p].rs);
		return res;
	}
	int qryps(int x,int l,int r,int p){//查找第一个val>=x的位置 
		if(l==r){
			if(d[p].mx>=x)return l;
			else return l+1;
		}
		int mid=l+r>>1;pd(p,l,r);
		if(d[d[p].ls].mx>=x)return qryps(x,l,mid,d[p].ls);
		else return qryps(x,mid+1,r,d[p].rs);
	}
	int qwqry(int x,int l,int r,int p){//查找位置为i上的值 
		if(l==r)return d[p].mx;
		int mid=l+r>>1;pd(p,l,r);
		if(x<=mid)return qwqry(x,l,mid,d[p].ls);
		else return qwqry(x,mid+1,r,d[p].rs);
	}
}T[maxn];
int len[maxn],son[maxn],tp[maxn],dep[maxn];
int f[maxn][20],g[maxn][20];
void _dfs_(int x){
	g[x][0]=a[x],len[x]=1;
	rep(i,1,18)f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1],g[x][i]=max(g[x][i-1],g[f[x][i-1]][i-1]);
	for(int u:G[x]){
		dep[u]=dep[x]+1,f[u][0]=x;
		_dfs_(u);
		if(len[u]+1>len[x])len[x]=len[u]+1,son[x]=u;
	}
}
int dis[maxn];
int lca(int x,int y){
	x=f[x][0];
	int res=0;
	per(i,18,0){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y])res=max(res,g[x][i]),x=f[x][i];
	}
	return res;
}
void dfs(int x){
	if(x==tp[x])rt[x]=T[x].bd(1,len[x]);
	if(son[x]){
		tp[son[x]]=tp[x],dis[son[x]]=dis[x]+1;
		dfs(son[x]);
	}
	int y=tp[x];
	for(int u:G[x])if(u^son[x]){
		tp[u]=u;dfs(u);
		rep(i,1,len[u]){
			int awa=T[u].qwqry(i,1,len[u],rt[u]);
			int ps=T[y].qryps(awa,1,len[y],rt[y]);
			T[y].upd(dis[x]+i+1,ps-1,awa,1,len[y],rt[y]);
		}
	}
	for(pii i:q[x]){
		int t=i.fi,id=i.se;
		int mx=lca(t,x),ps=T[y].qryps(mx,1,len[y],rt[y]);
		ans[id]=1ll*mx*(ps-dis[x]-1)-1ll*T[y].qry(dis[x]+1,ps-1,1,len[y],rt[y])+dep[t]-dep[x];
	}
	int ps=T[y].qryps(a[x],1,len[y],rt[y]);
	T[y].upd(dis[x]+1,ps-1,a[x],1,len[y],rt[y]);
}
void solve_the_problem(){
	n=rd();
	rep(i,1,n)a[i]=rd();
	rep(i,2,n){int x=rd();G[x].pb(i);}
	Q=rd();
	rep(i,1,Q){
		int x=rd(),y=rd();
		q[x].pb(mp(y,i));
	}
	dep[1]=1;
	_dfs_(1);
	tp[1]=1;
	dfs(1);
	rep(i,1,Q)write(ans[i],10);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}