Ybt 金牌导航 6.1.H. 时空旅行 / P5416 [CTSC2016] 时空旅行（线段树分治+凸包）

题意简述

初始有版本 $0$ ，其中仅包含点 $0$ ，且 $c_{0}$ 给出， $x_{0} = 0$ 。对于第 $i$ 个版本，它依赖第 $f r_{i}$ 个版本，而且会在父级版本的基础上进行以下两种操作之一：

插入一个新点，并且会给出 $x_{i}$ 和 $c_{i}$ 。
删除一个本就存在的点（不为 $0$ ）

给出 $m$ 次询问，每次给出 $s, x$ ，设版本 $s$ 中包含的点构成的点集为 $S$ ，求 $min_{u \in S} (x - x_{u})^{2} + c_{u}$ 。

$n, m \leq 5 \times 10^{5}$ ，数据保证所有插入操作时插入的点不相同（并不是很重要）。

分析

为了方便将初始下标置为 $1$ 。

根据各个版本的依赖关系我们可以建出一棵树。

发现其有加入删除操作，考虑用线段树分治去维护它，并用 dfn 序将树上问题转化为序列问题。

按照各个版本 dfn 序的顺序维护加点以及删点操作。具体来说，对于每个点维护 $l s t_{i}$ 表示 $i$ 点最后一次插入时的 dfn 是多少。当有插入操作时，更新 $l s t_{i}$ 为当前点最后一次出现的 dfn。当遇到删除操作时，此时该点必定位于插入的版本的子树之内，此时该点会在 $[l s t_{i}, d f n_{i})$ 中出现，并会在 $[d f n_{i}, d f n_{i} + s i z_{i})$ 消失，并将 $l s t_{i}$ 更新为 $d f n_{i} + s i z_{i}$ 。最后，（设 $v$ 为插入 $i$ 的版本）若有 $l s t_{i} \neq d f n_{v} + s i z_{v} - 1$ ，则 $[l s t_{i}, d f n_{v} + s i z_{v})$ 也会有点 $i$ 出现（代码中用 $l s t l s t_{i}$ 代替了 $d f n_{v} + s i z_{v} - 1$ ）。

接下来考虑如何计算最小贡献。考虑将其拆成斜率形式：

$a n s = (x - x_{u})^{2} + c_{u} \to x^{2} - 2 x x_{u} + x_{u}^{2} + c_{u} = a n s \to x_{u}^{2} + c_{u} = 2 x x_{u} + a n s - x^{2}$

这样，将 $(x_{u}, x_{u}^{2} + c_{u})$ 视为决策点， $2 x$ 视为斜率， $a n s - x^{2}$ 视为截距，即可用凸包优化。

对于线段树上每个点用单调队列维护一个下凸壳，若在线询问则单调队列上二分找到最优决策点，时间复杂度 $O (m \log^{2} n)$ ；若离线将询问的 $x$ 从小到大排序，则单调队列的队头只会向右移动，时间复杂度 $O (m \log n)$ 。

注意凸包的一个横坐标上只能有一个点，所以要特判多个决策点横坐标相同的情况。

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=b;a<=c;a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=b;a>=c;a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define double long double
#define int long long 
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char buf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char buf[SIZE],*S=buf,*T=buf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(buf,1,S-buf,stdout);S=buf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=5e5+1,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m,Q;
int a[maxn],c[maxn];
int op[maxn],id[maxn];
int lst[maxn],lstlst[maxn];
int dfn[maxn],dfncnt;
int siz[maxn];
vector<int>G[maxn];
void dfs(int x){
	siz[x]=1,dfn[x]=++dfncnt;
	for(int u:G[x])dfs(u),siz[x]+=siz[u];
}
pii operator-(pii x,pii y){
	return mp(x.fi-y.fi,x.se-y.se);
}
int calc(pii x,int y){
	return x.se-2*y*x.fi+y*y;
}
bool operator<=(pii x,pii y){
	return (double)((double)1.0*x.se)/((double)1.0*x.fi)<=(double)((double)1.0*y.se)/((double)1.0*y.fi);
} 
namespace segtree{
	struct node{
		vector<pii>q;
		int hd=0;
	}d[maxn*3];
	void upd(int ll,int rr,pii x,int l=1,int r=n,int p=1){
		if(ll>rr)return;
		if(ll<=l&&r<=rr){
			#define tl (int)q.size()-1
			#define q d[p].q
			if(!q.empty()&&q[tl].fi==x.fi){
				if(x.se<=q[tl].se)q.pop_back();
				else return;
			}
			while(tl>0&&(x-q[tl])<=(q[tl]-q[tl-1]))q.pop_back();
			q.pb(x);
			#undef tl
			#undef q
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		if(ll<=mid)upd(ll,rr,x,l,mid,lson(p));
		if(rr>mid)upd(ll,rr,x,mid+1,r,rson(p));
	}
	int qry(int t,int x,int l=1,int r=n,int p=1){
		int res=llinf;
		#define hd d[p].hd
		#define tl (int)q.size()-1
		#define q d[p].q
		if(!q.empty()){
			while(hd<tl&&calc(q[hd],x)>=calc(q[hd+1],x))hd++;
			res=calc(q[hd],x);
		}
		#undef hd
		#undef tl
		#undef q
		if(l==r)return res;
		int mid=l+r>>1;
		if(t<=mid)return min(res,qry(t,x,l,mid,lson(p)));
		else return min(res,qry(t,x,mid+1,r,rson(p)));
	}
}using namespace segtree;
int cnt;
struct Planet{
	int l,r;pii x;
	bool operator<(const Planet &p)const{
		return x<p.x;
	}
}e[maxn<<1];
struct Query{
	int x,y,ans;
	int id;
	bool operator<(const Query &p)const{
		return y<p.y;
	}
}q[maxn];
bool cmp(Query p,Query pp){
	return p.id<pp.id;
}
int num[maxn];
bool cnmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
void solve_the_problem(){
	n=rd(),Q=rd(),c[1]=rd();
	rep(i,2,n){
		int fa,z,y;
		op[i]=rd(),fa=rd()+1,id[i]=rd()+1;
		if(!op[i])a[id[i]]=rd(),y=rd(),z=rd(),c[id[i]]=rd();
		G[fa].pb(i);
	}
	dfs(1);
	rep(i,2,n)num[i]=i;
	sort(num+2,num+n+1,cnmp);
	rep(j,2,n){
		int i=num[j];
		if(!op[i]){
			lst[id[i]]=dfn[i],lstlst[id[i]]=dfn[i]+siz[i]-1;
		}else{
			e[++cnt]=(Planet){lst[id[i]],dfn[i]-1,mp(a[id[i]],a[id[i]]*a[id[i]]+c[id[i]])};
			lst[id[i]]=dfn[i]+siz[i];
		}
	}
	e[++cnt]=(Planet){1,n,mp(0,c[1])};
	rep(i,2,n)if(lst[i])e[++cnt]=(Planet){lst[i],lstlst[i],mp(a[i],a[i]*a[i]+c[i])};
	sort(e+1,e+cnt+1);
	rep(i,1,cnt){
		upd(e[i].l,e[i].r,e[i].x);
	}
	rep(i,1,Q)q[i].x=rd()+1,q[i].y=rd(),q[i].id=i;
	sort(q+1,q+Q+1);
	rep(i,1,Q){
		q[i].ans=qry(dfn[q[i].x],q[i].y);
	}
	sort(q+1,q+Q+1,cmp);
	rep(i,1,Q)write(q[i].ans,10);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/