CF741D Arpa's letter-marked tree and Mehrdad's Dokhtar-kosh paths（dsu on tree）

题意简述

一棵根为 $1$ 的树，每条边上有一个字符（a 到 v 共 $22$ 种）。一条简单路径被称为 Dokhtar-kosh，当且仅当路径上的字符经过重新排序后可以变成一个回文串。求每个子树中最长的 Dokhtar-kosh 路径的长度。

翻译搬自洛谷翻译。

$n \leq 5 \times 10^{5}, | Σ | \leq 22$ 。

分析

什么样的字符串能经过重排形成回文串？

至多一种字符出现奇数次的字符串，即剩下的字符都出现了偶数次。看到奇偶次不难想到将 $22$ 种字符的奇偶性压成一个数 $S$ ，则只有 $S = 0, 2^{v} (0 \leq v \leq 21)$ 的字符串才是合法的。

怎么求路径上字符串的状态 $S$ 呢？

首先求出根节点到节点 $i$ 路径上构成的字符串的状态 $S_{i}$ ，则 $u, v$ 两点间构成的字符串状态即为 $S_{u} \oplus S_{v}$ ，由于异或的性质， $l c a (u, v)$ 到根节点的路径上的字符的贡献会被计算两遍而抵消。长度显然就是 $d e p_{u} + d e p_{v} - d e p_{l c a (u, v)}$ 。

怎么求子树内的最大长度呢？

由于总状态只有 $2^{22}$ 种，考虑直接对这 $2^{22}$ 种状态开一个桶，记录 $S_{i} = cond$ 的 $d e p_{i}$ 的最大值。

考虑如何记录答案。采用树上启发式合并，此时贡献分为两种，单独一个子树的贡献和两个不同子树的贡献。

先计算重儿子的贡献，此时桶里只有一个子树的答案，直接枚举 $23$ 种合法状态的最大答案，减去一倍的 $d e p_{x}$ 。

接下来暴力枚举剩下的子树，先计算该子树和自身/其他子树的答案，每遇到一个状态 $S_{i}$ ，枚举 $23$ 种合法状态，与 $S_{i}$ 构成某种合法状态的 $S_{j}$ 只有一种，用该节点的 $d e p$ 加上桶里面 $S_{j}$ 存的最大答案再减去两倍的 $d e p_{x}$ 即可。将桶初始化为 $0$ 即可计算此时单独一个子树的贡献（因为其他子树没有贡献）。

注意求完 $a n s_{x}$ 还要与 $x$ 的各个子树 $u$ 的 $a n s_{u}$ 取最大值。

时间复杂度 $O (| Σ | \cdot n \log n)$ 。

点击查看代码

#include<iostream>
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#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define PY puts("Yes")
#define PN puts("No")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;a++)
#define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=b;a<=c;a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=b;a>=c;a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
//#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char buf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=buf)+fread(buf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char buf[SIZE],*S=buf,*T=buf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(buf,1,S-buf,stdout);S=buf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=5e5+5,maxm=4194304,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n;
char s[maxn];
int c[maxn];
vector<int>G[maxn];
int siz[maxn],son[maxn],dep[maxn];
void dfs0(int x){
	siz[x]=1;
	int mxsiz=0;
	for(int u:G[x]){
		c[u]=c[x]^(1<<(s[u]-'a')),dep[u]=dep[x]+1;
		dfs0(u);siz[x]+=siz[u];
		if(siz[u]>mxsiz)mxsiz=siz[u],son[x]=u;
	}
}
int ans[maxn];
int cnt[maxm];
void add(int x){
	cnt[c[x]]=max(cnt[c[x]],dep[x]);
	for(int u:G[x])add(u);
}
void del(int x){
	cnt[c[x]]=-inf;
	for(int u:G[x])del(u);
}
void calc(int x,int rt){
	ans[rt]=max(ans[rt],dep[x]+cnt[c[x]]-dep[rt]*2);
	rep(i,0,21)ans[rt]=max(ans[rt],dep[x]+cnt[c[x]^(1<<i)]-dep[rt]*2);
	for(int u:G[x])calc(u,rt);
}
void dfs(int x,bool ok){
	for(int u:G[x])if(u^son[x])dfs(u,0),ans[x]=max(ans[x],ans[u]);
	if(son[x])dfs(son[x],1),ans[x]=max(ans[x],ans[son[x]]);
	ans[x]=max(ans[x],cnt[c[x]]-dep[x]);
	rep(i,0,21)ans[x]=max(ans[x],cnt[c[x]^(1<<i)]-dep[x]);
	cnt[c[x]]=max(cnt[c[x]],dep[x]);
	for(int u:G[x])if(u^son[x])calc(u,x),add(u);
	if(!ok)del(x);
}
void solve_the_problem(){
	cin>>n;mem(cnt,0xc0);
	rep(i,2,n){
		int fa;
		cin>>fa>>s[i];
		G[fa].pb(i);
	}
	dfs0(1);dfs(1,1);
	rep(i,1,n)write(ans[i],32);
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	IOS;int _=1;while(_--)solve_the_problem();
}