ARC170D Triangle Card Game

题意简述

先手有 $n$ 张卡片 $a_i$，后手有 $n$ 张卡片 $b_i$，一局游戏由先手先选一张卡、后手其次选一张卡、先手最后再选一张卡，若三张卡上的数字能构成三角形则先手胜，否则后手胜，求谁有必胜策略。

$n\le 2\times {10}^5$。

分析

枚举先手第一步选择的牌，设其为 $a$。令先手取完 $a$ 后剩余的 $n-1$ 张卡牌构成的集合为 $S$。

如果后手对于该牌没有应对之策，那么先手就是必胜的。设后手选的牌为 $b$，则后手有应对之策当且仅当不存在 $c\in S,|a-b|<c<a+b$。

拆掉绝对值分类讨论：

• 若 $a\ge b$，此时 $a-b<c<a+b$，开区间中心一定，那么半径 $b$ 越小，可能包含的数越少，因此此时取最小的 $b$ 更优。
• 若 $a<b$，此时 $b-a<c<b+a$，开区间半径一定，我们需要选择一个合适的中心 $b$，使得开区间中不包含任何 $c$。

接下来重点讨论第二种情况。

此时我们需要知道对于每个 $b$ 和与其距离最近的那个 $c$ 的距离是多少，设其为 $di{s}_b$。则若存在一个 $di{s}_b$ 满足 $di{s}_b\ge a$（即最近的 $c$ 在开区间范围之外，注意可以取等），那么后手就有应对之策。但有可能最近的 $c$ 是先手第一部就选择过的 $a$，故此时对于每个 $b$ 仍需维护一个次大值，当最大值对应的 $c$ 是 $a$ 时，去掉最大值，加入次大值，直到处理下一个 $a$ 时在加回来，并把次大值去掉。

这里需要支持插入、删除和取最大值操作，可以用 set 或者可删堆，时间复杂度都是 $O(n\log n)$。

小问题：如何求最大值和次大值？最大值一定是 $b$ 的前驱后继，次大值一定是 $b$ 的前驱后继以及前驱的前驱和后继的后继。具体见代码。

点击查看代码

//#pragma comment(linker, "/stack:200000000")
//#pragma GCC optimize("Ofast")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,tune=native")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<set>
#include<ctime>
#include<random>
#define x1 xx1
#define y1 yy1
#define IOS ios::sync_with_stdio(false)
#define ITIE cin.tie(0);
#define OTIE cout.tie(0);
#define FlushIn fread(Fread::ibuf,1,1<<21,stdin)
#define FlushOut fwrite(Fwrite::obuf,1,Fwrite::S-Fwrite::obuf,stdout)
#define PY puts("Alice")
#define PN puts("Bob")
#define PW puts("-1")
#define P__ puts("")
#define PU puts("--------------------")
#define popc __builtin_popcount
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define gc getchar
#define pc putchar
#define pb emplace_back
#define rep(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define per(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define reprange(a,b,c,d) for(int a=(b);a<=(c);a+=d)
#define perrange(a,b,c,d) for(int a=(b);a>=(c);a-=d)
#define graph(i,j,k,l) for(int i=k[j];i;i=l[i].nxt)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define lson(x) (x<<1)
#define rson(x) (x<<1|1)
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof x)
//#define double long double
#define int long long
//#define int __int128
using namespace std;
bool greating(int x,int y){return x>y;}
bool greatingll(long long x,long long y){return x>y;}
bool smallingll(long long x,long long y){return x<y;}
namespace Fread {
	const int SIZE=1<<21;
	char ibuf[SIZE],*S,*T;
	inline char getc(){if(S==T){T=(S=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin);if(S==T)return '\n';}return *S++;}
}
namespace Fwrite{
	const int SIZE=1<<21;
	char obuf[SIZE],*S=obuf,*T=obuf+SIZE;
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,S-obuf,stdout);S=obuf;}
	inline void putc(char c){*S++=c;if(S==T)flush();}
	struct NTR{~NTR(){flush();}}ztr;
}
/*#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getc
#define putchar Fwrite::putc
#endif*/
inline int rd(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}return x*f;
}
inline void write(int x,char ch='\0'){
	if(x<0){x=-x;putchar('-');}
	int y=0;char z[40];
	while(x||!y){z[y++]=x%10+48;x/=10;}
	while(y--)putchar(z[y]);if(ch!='\0')putchar(ch);
}
bool Mbg;
const int maxn=2e5+5,maxm=4e5+5,inf=0x3f3f3f3f;
const long long llinf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,a[maxn],b[maxn];
int mx[maxn],exmx[maxn],p[maxn];
multiset<int,greater<int> >s;
vector<int>v[maxn];
void init(){
	a[0]=-llinf,a[n+1]=llinf;
	s.clear();rep(i,1,n)v[i].clear();
}
void solve_the_problem(){
	n=rd();rep(i,1,n)a[i]=rd();rep(i,1,n)b[i]=rd();
	init();
	sort(a+1,a+n+1),sort(b+1,b+n+1);
	rep(i,1,n){
		int sec=upper_bound(a+1,a+n+1,b[i])-a,pre=sec-1;
		mx[i]=min(abs(a[pre]-b[i]),abs(a[sec]-b[i]));
		if(abs(a[pre]-b[i])<abs(a[sec]-b[i]))p[i]=pre,pre--;
		else p[i]=sec,sec++;
		exmx[i]=min(abs(a[pre]-b[i]),abs(a[sec]-b[i]));
	}
	rep(i,1,n)v[p[i]].pb(i);
	rep(i,1,n)s.insert(mx[i]);
	rep(i,1,n){
		int ps1=upper_bound(a+1,a+n+1,abs(a[i]-b[1]))-a,ps2=lower_bound(a+1,a+n+1,a[i]+b[1])-a-1;
		if(ps1>ps2||(ps1==ps2&&ps1==i))continue;
		for(int u:v[i])s.erase(s.find(mx[u])),s.insert(exmx[u]);
		if(*s.begin()<a[i])return (void)PY;
		for(int u:v[i])s.insert(mx[u]),s.erase(s.find(exmx[u]));
	}
	PN;
}
bool Med;
signed main(){
//	freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
//	fprintf(stderr,"%.3lfMB\n",(&Mbg-&Med)/1048576.0);
	int _=rd();while(_--)solve_the_problem();
}
/*

*/