Dynamic Programming

目录

• 热身
• 198. 打家劫舍
• 62. 不同路径
• 63. 不同路径 II
• 213. 打家劫舍 II
• 337. 打家劫舍 III

参考：https://cloud.tencent.com/developer/article/1692068

热身

斐波那契数列

递归求解

自顶向下，存在大量的重复计算

动态规划

保存中间状态，利用保存的历史状态求解问题，减少了重复计算，空间换时间。

空间复杂度优化

只需借助两个变量dp1、dp2

解题步骤：

步骤一：定义dp数组的含义
步骤二：定义状态转移方程
步骤三：初始化过程转移的初始值
步骤四：可优化点(可选)

198. 打家劫舍

1. dp[i]：到第i户时，抢得最大金额

2. 状态转移方程

   • 偷第i户

     不能连着偷，dp[i] = dp[i-2] + nums[i-1]，此处用i-1是因为第i户，抢得金额刚好对应的nums[i-1]

   • 不偷第i户

     dp[i] = dp[i-1]

   综上

   dp[i] =  max(dp[i-2] + nums[i-1], dp[i-1])
   

3. 初始值

   dp[0] = 0			// 还没开始偷
   dp[1] = nums[0]		// 到了第1户直接偷
   

62. 不同路径

1. dp(i,j)

   走到（i，j）处的不同路径数

2. 状态转移方程

   只能向下或向右走，到达（i，j）位置，要么从上面的位置（i-1，j）处来，要么从左边得位置（i，j-1）处来

   dp(i,j) = dp(i-1,j) + dp(i,j-1)

3. 初始值

   dp(0,0) = 1

   第一行的所有位置（0，i），只能由起始点向右走，只有一种路径；同理，第一列的位置（i，0），只能由起始点向下走，也都只有一种路径。

63. 不同路径 II

路径上有障碍物

1. dp(i,j)

   走到（i，j）处的不同路径数

2. 状态转移方程

   • 没有障碍物的情况下

     只能向下或向右走，到达（i，j）位置，要么从上面的位置（i-1，j）处来，要么从左边的位置（i，j-1）处来

     dp(i,j) = dp(i-1,j) + dp(i,j-1)

   • 有障碍物

     dp(i,j) = 0

3. 初始值

   第一行的所有位置，只要遇到一个障碍物，其后的所有都不可达，均置为0；第一列同理。

213. 打家劫舍 II

环形打家劫舍，首户和尾户不能同时抢

思路：

• 只有1户，直接抢即可

• 只有2户，抢最大金额即可

• 超过2户，需要考虑两者情况（抢首户 or 抢尾户），再取较大者

1. dp[i]

   表示抢第i户所得最大金额

2. 状态转移方程

   同打家劫舍Ⅰ

3. 边界条件

   dp[0] = 0;

   dp[1] = nums[0]; //抢首户不抢尾户

   dp[1] = nums[1]; //抢尾户不抢首户

337. 打家劫舍 III

子问题

树中每个节点都有 选 或 不选 两种选择。子问题subproblem定义为，子树根节点选的抢得最大金额 和 子树根节点不选的抢得最大金额；原问题的解就是 max(sub(根节点选), sub(根节点不选))

c++ 实现，二叉树后序遍历，用2个hash表存储，选或不选每个节点的子问题的解

定义f表存储选子树根节点的最优解，g表存储不选子树根节点的最优解

状态转移方程

• f[t] = t->val + g[t->left] + g[t->right]

  选子树根节点，则左右子节点均不能选

• g[t] = max(f[t->left], g[t->left]) + max(f[t->right], g[t->right])

  不选子树根节点，左子树根节点可选可不选，取最大值；右子树同理