优化算法

1. 相关概念

优化

改变x以最大化、最小化某个函数f(x)的任务
目标函数、准则、代价函数、损失函数、误差函数

最大化、最小化的函数
用*上标表示最大化最小化函数的x的值

\[x^{*}=argminf(x) \]

2. 梯度下降

2.1 直观理解

沿着函数的下坡方向（导数反方向），直到最小

2.2 相关概念

极大值点、极小值点、鞍点
局部最小值点、全局最小值点

最理想的情况是找到全局最小值点，但可能比较难，特别是在多维情况下，因此找到近似局部最小值点也是可以接受的
梯度

是一个向量，多维函数 f 对所有参数 x_i 的偏导数构成的一个向量，记为\(\nabla_xf(x)\)，梯度方向是函数值增加最快的方向，梯度方向反方向是函数值下降最快的方向，梯度下降算法参数更新的方向即为梯度方向的反方向

2.3 数学证明

梯度方向是函数值增大方向，梯度反方向是函数值下降方向，沿梯度反方向对参数迭代更新，以最小化损失函数

证明如下

式1,2,3,5说明了要使得函数值减小需要满足的条件，式6说明负梯度方向更新参数函数值下降最快

梯度下降算法描述如下

eps为接近0的正数，N为最大迭代次数，防止出现死循环

学习率\(\alpha\)要设置为接近于0的正数，原因如下，结合式3进行理解

3. 梯度下降法的改进

改进方向主要有学习率衰减和梯度方向优化，对应的优化算法如下图所示

3.1 动量法

借用物理学动量得概念，直观理解是依靠惯性保持迭代时的前进方向，用历史梯度信息对当前梯度进行修正，消除病态条件问题上的来回震荡

参数更新公式为

\[x_{k+1}=x_k + v_k \]

\[v_k=-\alpha\nabla f(x_k)+\mu v_{k-1} \]

对动量项展开得

考虑动量的优点

收敛更快
有机会逃脱局部最小值（因为动量可能推动它脱离局部极小值）

3.2 梯度截断

gradient clipping，是为了解决梯度爆炸问题，当梯度大于一定的阈值时，就将其截断，在训练原始RNN时采取了此方法，参考RNN - dctwan - 博客园 (cnblogs.com)

按值截断

按模截断

3.3 AdaGrad

Adaptive Gradient Descent，自适应学习率梯度下降，学习率在不断发生变化，且对于每个参数的学习率是不同的。学习率衰减的思想是：训练刚开始时学习率大一些，以保持收敛速度，在收敛到最优点附近时，要小一些避免震荡

对稀疏特征的理解，稀疏特征的平均梯度通常很小，所以这些特征的训练速度要慢得多。Adagrad 解决这个问题的思路是: 你已经更新的特征越多，你将来更新的就越少，这样就有机会让其它特征(例如稀疏特征)赶上来。更新这个特征的程度即在这个维度中移动了多少，这个概念由梯度平方的累积和表达

参数更新公式为

优点

更好地避开鞍点，Adagrad 将采取直线路径，而梯度下降(或相关的动量)采取的方法是“让我先滑下陡峭的斜坡，然后才可能担心较慢的方向”。
缺点

收敛非常慢，随着参数更新的进行，分母越来越大，逐渐趋向于0

3.4 RMSProp

Root Mean Square Propagation，通过添加衰减因子来解决AdaGrad收敛太慢（学习率趋向于0）的问题

为了看到衰减的效果，在这个对比中，AdaGrad （白色）最初与 RMSProp （绿色）差不多，正如调整学习率和衰减率的预期。但是 AdaGrad 的梯度平方和累计得非常快，以至于它们很快变得非常巨大（从动画中方块的大小可以看出）。买路费负担沉重，最终 AdaGrad 几乎停止了。另一方面，由于衰变率的原因，RMSProp 一直将方块保持在一个可控的大小。这使得 RMSProp 比 AdaGrad 更快。