最短路径——Bellman-Ford算法

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转自：https://www.cnblogs.com/xzxl/p/7232929.html

一、相关定义

最短路径：求源点到某特定点的最短距离

特点：Bellman-Ford算法主要是针对有负权值的图，来判断该图中是否有负权回路或者存在最短路径的点

局限性：算法效率不高，不如SPFA算法

时间复杂度：O（mn）

具体与dijkstra算法的比较

Bellman-Ford算法为何需要循环n-1次来求解最短路径？Dijkstra从源点开始，更新dis[]，找到最小值，再更新dis[]……每次循环都可以确定一个点的最短路。Bellman-Ford算法同样也是这样，它的每次循环也可以确定一个点的最短路，只不过代价很大，因为 Bellman-Ford每次循环都是操作所有边。既然代价这么大，相比Dijkstra 算法，Bellman-Ford算法还有啥用？因为后者可以检测负权回路啊。Bellman-Ford 算法的时间复杂度为 O(nm)，其中 n 为顶点数，m 为边数。

负权回路

开始不懂，看了下面的图和我的算法描述后就懂了：

img

img

在循环n-1次的基础上再次遍历各边，对于所有边，只要存在一条边e(u, v)使得 dis[u] + w(u,v) < dis[v]，则该图存在负权回路。

【松弛操作】

imgimg

如左图所示，松弛计算之前，点B的值是8，但是点A的值加上边上的权重2，得到5，比点B的值（8）小，所以，点B的值减小为5。这个过程的意义是，找到了一条通向B点更短的路线，且该路线是先经过点A，然后通过权重为2的边，到达点B。
当然，如果出现右边这种情况，则不会修改点B的值，因为3＋4>6。

二、算法描述

关键词：初始化 松弛操作

主要变量如下：

int n　　　 表示有n个点，从1~n标号

int s,t 　　s为源点，t为终点

int dis[N]　 dis[i]表示源点s到点i的最短路径

int pre[N]　 记录路径，pre[i]表示i的前驱结点

bool vis[N] vis[i]=true表示点i被标记

初始化

dis数组全部赋值为INF，pre数组全部赋值为-1（表示还不知道前驱），

dis[s] = 0 表示源点不要求最短路径（或者最短路径就是0）。

松弛操作

对于每一条边e(u, v)，如果dis[u] + w(u, v) < dis[v]，则另dis[v] = dis[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值

注：上述循环执行至多n-1次。若上述操作没有对Distant进行更新，说明最短路径已经查找完毕或者部分点不可达，跳出循环；否则执行下次循环。

检测负权回路

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。

检测的方法很简单，只需在求解最短路径的 n-1 次循环基础上，再进行第 n 次循环：对于每一条边e(u, v)，如果存在边使得dis[u] + w(u, v) < dis[v]，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

小结

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分：

  1. 初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
  2. 进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
  3. 遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况： d（v） > d (u) + w(u,v)，若存在，则返回false，表示图中存在从源点可达的权为负的回路。

之所以需要第三步的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路，则将因为无法收敛而导致不能求出最短路径。

三、代码实现

#include<iostream>   
#include<stack> 
using namespace std;
 
const int MAX = 10000;  //假设权值最大不超过10000
 
struct Edge
{
    int u;
    int v;
    int w;
};
 
Edge edge[10000];  //记录所有边
int dist[100];     //源点到顶点i的最短距离
int path[100];     //记录最短路的路径
int vertex_num;    //顶点数
int edge_num;      //边数
int source;        //源点 
 
bool BellmanFord()
{
    //初始化
    for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
        dist[i] = (i == source) ? 0 : MAX;
 
    //n-1次循环求最短路径
    for (int i = 1; i <= vertex_num - 1; i++)
    {
        for (int j = 0; j < edge_num; j++)
        {
            if (dist[edge[j].v] > dist[edge[j].u] + edge[j].w)
            {
                dist[edge[j].v] = dist[edge[j].u] + edge[j].w;
                path[edge[j].v] = edge[j].u;
            }
        }
    }
 
    bool flag = true;  //标记是否有负权回路
 
    //第n次循环判断负权回路
    for (int i = 0; i < edge_num; i++) 
    {
        if (dist[edge[i].v] > dist[edge[i].u] + edge[i].w)
        {
            flag = false;
            break;
        }
    }
 
    return flag;
}
 
void Print()
{
    for (int i = 0; i < vertex_num; i++)
    {
        if (i != source)
        {
            int p = i;
            stack<int> s;
            cout << "顶点 " << source << " 到顶点 " << p << " 的最短路径是： ";
 
            while (source != p)  //路径顺序是逆向的，所以先保存到栈
            {
                s.push(p);
                p = path[p];
            }
 
            cout << source;
            while (!s.empty())  //依次从栈中取出的才是正序路径
            {
                cout << "--" << s.top();
                s.pop();
            }
            cout << "    最短路径长度是：" << dist[i] << endl;
        }
 
    }
}
 
int main()
{
 
    cout << "请输入图的顶点数，边数，源点：";
    cin >> vertex_num >> edge_num >> source;
 
    cout << "请输入" << edge_num << "条边的信息：\n";
    for (int i = 0; i < edge_num; i++)
        cin >> edge[i].u >> edge[i].v >> edge[i].w;
 
    if (BellmanFord())
        Print();
    else
        cout << "Sorry,it have negative circle!\n";
 
    return 0;
}

四、实战

https://acm.ecnu.edu.cn/problem/1817/

求出有 n (1<n<600) 个结点有向图中，结点 1 到结点 n 的最短路径。

输入格式

第一行有 2 个整数 n,m (0<m≤n(n−1)2)，接下来 m 行每行有三个整数 u,v,w 结点 u 到 v 有一条权为 w 的边 (w<106)。

输出格式

输出结点 1 到结点 n 之间的最短路径，如果 1 到 n 之间不存在路径，输出 −1。

样例

input

3 3
1 2 10
2 3 15
1 3 30

output

25

AC代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

/**
 * @brief Bellman-Ford单源最短路径算法
 * 
 * @return int 
 */

const int MAXN = 610;
const int MAXM = MAXN * MAXN;
const int INF = 1e6 + 10;

struct Edge{
    int from, to;
    int length;
    Edge(int f, int t, int l): from(f), to(t), length(l) {}
};

vector<Edge> edges;
int dis[MAXN];

void Bellman_Ford(int start, int n, int m){
    //初始化
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dis[i] = INF;
    }
    dis[start] = 0;

    //循环n-1次
    for(int i = 1; i < n; ++i){
        //对每一条边进行松弛操作
        for(int j = 0; j < m; ++j){
            int from = edges[j].from;
            int to = edges[j].to;
            int d = edges[j].length;
            if(dis[from] + d < dis[to]){
                dis[to] = dis[from] + d;
            }
        }
    }

    //判断是否存在负回路(再来一次遍历)
    /*for(int j = 0; j < m; ++j){
        int from = edges[j].from;
        int to = edges[j].to;
        int d = edges[j].length;
        if(dis[from] + d < dis[to]){
            return 0;
        }
    }
    return 1;*/
}

int main(){
    int n, m;
    int from, to, length;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 0; i < m; ++i){
        scanf("%d%d%d", &from, &to, &length);
        edges.push_back(Edge(from, to, length));
    }

    Bellman_Ford(1, n, m);
    if(dis[n] == INF){
        printf("-1\n");
    }
    else{
        printf("%d\n", dis[n]);
    }
    

    //system("pause");
    return 0;
}

五、遇到的坑

之前笔者学习别的单源最短路径代码的时候，了解到可将INF定义为INT_MAX，即如下代码

#include<climits>

const int INF = INT_MAX;

但是在提交题解时最后一个测试点通不过，查看测试数据input并进行测试，发现输出为-2147483575这个很离谱的结果。在将INF的定义改为如下形式，则顺利通过最后一个测试点。

const int INF = 1e6 + 10;

分析得出结论如下：

采用方案1，即INF = INT_MAX，当遇到dis[from]为INF的情况是，dis[from] + d超过INF，即超过int型整数所能表示的最大整数，也就是溢出了，则此时dis[from] + d的值变为等于或者接近INT_MIN，即int型整数所能表示的最小整数。此时，dis[to] > INT_MIN也就是 if判断条件必定满足，进而dis[to]就被赋值为一个接近或者等于INT_MIN的值，bug就由此产生。可能会导致终点的dis始终为接近或等于INT_MIN而得不到更新，也就是笔者测试时出现的-2147483575这样离谱的结果

用下面的列子说明一下：

image-20220127112415950 
input
3 3
2 3 15
1 2 10
1 3 30
1 2 3
Init 0 inf inf
round1 edge1 0 inf -inf
round1 edge2 0 10 -inf
round1 edge3 0 10 -inf
round2 edge1 0 10 -inf
round2 edge2 0 10 -inf
round2 edge3 0 10 -inf

知道了哪里出现问题，修改就很容易了，只需要在if条件判断即可

if(dis[from] != INF && dis[from] + d < dis[v])

而定义为INF = 1e6 + 10，则不会出现这样的上述bug，原因是即便是dis[from]=INF，只要dis[from] + d没有超过int型变量所能表示的最大整数即可。但是此值需要根据题目描述来确定。

六、改进

《挑战程序设计竞赛》中关于Bellman Ford算法的代码如下：

若在n-1次的循环中，某一次遍历所有的边后，并没有更新dis，则算法运行结束

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string.h>
#include<climits>
using namespace std;

/**
 * @brief Bellman-Ford单源最短路径算法
 * 
 * @return int 
 */

const int MAXN = 610;
const int MAXM = MAXN * MAXN;
const int INF = INT_MAX;

struct Edge{
    int from, to;
    int length;
    Edge(int f, int t, int l): from(f), to(t), length(l) {}
};

vector<Edge> edges;
int dis[MAXN];

void Bellman_Ford(int start, int n, int m){
    //初始化
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        dis[i] = INF;
    }
    dis[start] = 0;

    while(true){
        //update标记此趟遍历是否有更新
        bool update = false;
        for(int i = 0; i < m; ++i){
            Edge e = edges[i];
            if(dis[e.from] != INF && dis[e.from] + e.length < dis[e.to]){
                dis[e.to] = dis[e.from] + e.length;
                update = true;
            }
        }
        if(update == false){	//若此趟没有更新则算法结束
            break;
        }
    }
}

bool find_negative_loop(int n, int m){
    memset(dis, 0, sizeof(dis));
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        for(int j = 0; j < m; ++j){
            Edge e = edges[j];
            if(dis[e.from] + e.length < dis[e.to]){
                dis[e.to] = dis[e.from] + e.length;
                if(i == n - 1){
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main(){
    int n, m;
    int from, to, length;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 0; i < m; ++i){
        scanf("%d%d%d", &from, &to, &length);
        edges.push_back(Edge(from, to, length));
    }

    Bellman_Ford(1, n, m);
    if(dis[n] == INF){
        printf("-1\n");
    }
    else{
        printf("%d\n", dis[n]);
    }
    

    system("pause");
    return 0;
}
posted @ 2022-01-27 10:26  dctwan  阅读(1093)  评论(0)  编辑  收藏  举报