原根
原根
$满足a^r \equiv 1 (mod \ m)的最小r 表示a对模m的阶,记作\delta_{m}(a)$
$若\delta_{m}(a)=\varphi(m)，则称a是模m的原根$
$若m有原根,则原根个数为\varphi(\varphi(m))$
证明:
首先生成元的概念见算到31.4
对于任意一个$(a,m)=1$, 如果a是m的原根， 那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 $Z/mZ $的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）$Zm^*$ 的一个生成元,考虑这$\varphi(m)$个数:$a1,a2,... a{\varphi(m)}$，如果$ap$为原根，那么就要求，他的某个乘方是$a^1$，这个时候$p$和$\varphi(m)$互质，
所以原根个数为$\varphi(\varphi(m)).$
