J 分班(class)(NYIST 2019年校赛)

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题目描述:

jsb 是 XX 市第一中学的校长。一轮模拟考试结束后，jsb 想让所有学生重新分班。

XX 市第一中学共有 n 位学生，其中第 i 个学生的该次模拟考试的成绩为 bi。jsb 打算将所 有学生分配到 m 个班级里，第 i 个班级的人数为 ai，即需要将恰好 ai 个人分配到第 i 个班级 内。

然而，如果班级里的学霸和班级内的其他同学水平差距过大，会使学霸产生自满度。具体 来说，如果第 i 个学生在第 j 个班级中，他的成绩比第 j 个班级的所有其他人的分数最大值 还高，那么的自满度等于他的成绩减去第 j 个班级第二名的成绩；否则他的自满度为 0。

jsb 希望所有学生的自满度的最大值尽量小。请你安排分班方案，使得所有学生自满度的 最大值最小。

例如，假设一共有 10 位学生，他们的成绩分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，现在需要将他们 分到人数分别为 4 和 6 的两个班级内。可以把成绩为 1,2,3,4 的同学分成一个班，成绩为 5,6,7,8,9,10 的同学分成一个班，这样成绩为 4 和 10 的同学自满度为 1，其他同学的自满度 为 0，最大的自满度为 1。显然，最大的自满度不可能小于 1；当然，使自满度最大值为 1 的 分班方法还有其他很多种。

输入描述:

第一行 2 个正整数 n, m (2 ≤ n ≤ 100000, 1 ≤ m ≤ 50000)，表示学生人数以及班级的个数。

接下来一行 m 个正整数 a1, a2, ..., am (ai ≥ 2,∑m i=1 ai = n) ，表示每个班级的人数。

接下来一行 n 个正整数 b1, b2, ..., bn (0 ≤ bi ≤ 109)，表示每个人的成绩。

输出描述:

一行一个正整数，表示答案，即所有学生的自满度最大值的最小值。

样例输入:

10 2
4 6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

样例输出:

1

提示:

分析：

​ 可以采用二分求解。

下面解释为什么可以使用二分求解

​ 假设答案的所要求的最小值为$k$, 现在测试$valmax$为分班后的自满度最大值

• 如果$valmax<k$ 则不管采用何种方法进行分班肯定不成功的
• 如果$valmax>k$，则最优的分班方法可定能成功分班

那么对于一个$valmax$怎么去检验该值是否可行？

下面设计一个最优的分班方法：

​ 我们可以将学生成绩从小到大排序，将班级人数从小到大排序，接下来 开始从大到小开始遍历学生成绩，如果挨着的两个学生成绩之差$<=valmax$ 则将这一对作为某一个班级的前二名，就这样一直下去，直到遍历完所有学生，或者选出的对数已经等于班级个数则退出遍历。下面即开始检验分班人数是否满足.

​ 记录下每对前面可选的人数(还未分到班级的人数)。 可以这样计算：假设班级共$m$个，总共有$n$个人，这一组前面还有$i$个人，这是第$tot$对，那么该对下前面未分班的人数为$(i-(m-tot))*2)$

​ 按照先前选出对的顺序分别作为第$m,m-1,m-2, ...1$个班的前二名 (第$m$班的班级人数最多，第$m-1$的班级人数次多，依此类推)

​ 如果对于第$i$个班 可以分够人数，则需要满足下面两点要求

• ​ 前i个班可以分够人数

• ​ 如果前i个班的需要塞的人数(即不包括每个班前二名)<=第i个班前二名之前的人数(即还可以塞的人数) ，

  那么则该班可以分够要求的人数。

​ 如果所有的班都可以分够要求的人数，则该maxval可行。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b)   memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
const int maxn=1e5+100;
int total[maxn];//班级需要分的人数 从大到小
int frontot[maxn];//从大到小  表示 后面未分班的学生
int score[maxn<<1],book[maxn];
int m,n;
bool cmp(int a,int b)
{
    return a>b;
}
bool Check(int val)
{
/*
1.符合要求的对数，到达m对即可
2.再记下m对前面可以塞的个数
*/
    int tot=0;
    mset(book,0);
    for(int i=n-2;i>=0;--i)
    {
        if(book[i+1]||book[i])
            continue;
        if(score[i+1]-score[i]<=val)
        {
            frontot[tot]=i-(m-tot-1)*2;
            tot++;
            if(tot==m)
                break;
            book[i+1]=book[i]=1;
        }
    }
    if(tot<m)
        return 0;
    int sum=0;
    for(int i=m-1;i>=0;--i)
    {
        sum+=total[i]-2;
        if(frontot[i]<sum)
            return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        scanf("%d",total+i);
    }
    for(int i=0;i<n;++i)
        scanf("%d",score+i);
    sort(score,score+n);
    sort(total,total+m,cmp);
    int mid,ans=-1,l,r;
    l=0,r=1e9;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)>>1;
        if(Check(mid))
        {
            r=mid-1;
            ans=mid;
        }
        else
        {
            l=mid+1;
        }

    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}