rmq的st算法及模板

 

        RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

ST算法：

 

　　首先是预处理，用一个DP解决。设a是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。f[1,2]=5，f[1,3]=8，f[2,0]=2，f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]（j≥1）平均分成两段（因为j≥1时，f[i,j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段（长度都为2^（j-1））。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和6,8,1,2这两段。f就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-1),j-1])。

 

　　接下来是得出最值，也许你想不到计算出f有什么用处，一般要想想计算max还是要O(logn)，甚至O(n)。但有一个很好的办法，做到了O(1)。还是分开来。如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l,r]分成两个长度为2^n的区间（保证有f对应）。直接给出表达式：

 

　　k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));

 

　　ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);

 

　　这样就计算了从l开始，长度为2^k的区间和从r-2^k+1开始长度为2^k的区间的最大值（表达式比较烦琐，细节问题如加1减1需要仔细考虑），二者中的较大者就是整个区间[l,r]上的最大值。

#include <iostream> 　　
#include <cstdio> 　　
#include <cmath> 　　
#define max(a,b) (a>b?a:b) 　　
#define min(a,b) (a<b?a:b) 　　
#define MN 50005 　　
using namespace std; 　　
int mi[MN][17],mx[MN][17],w[MN]; 　　
int n,q; 　　
void rmqinit() 　　
{ 　
　  int i,j,m; 　　
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        mi[i][0]=mx[i][0]=w[i];
    } 　　
    m=floor(log((double)n)/log(2.0)); 　　
    for(i=1;i<=m;i++) 　　
    {
    　　for(j=n;j>=1;j--) 　　
        {
        　　mx[j][i]=mx[j][i-1]; 　　
            if(j+(1<<(i-1))<=n)
                 mx[j][i]=max(mx[j][i],mx[j+(1<<(i-1))][i-1]);
            mi[j][i]=mi[j][i-1]; 　　
            if(j+(1<<(i-1)<=n))
                 mi[j][i]=min(mi[j][i],mi[j+(1<<(i-1))][i-1]); 　　
         } 　　
    } 　　
} 　　
int rmqmin(int l,int r) 　　
{
 　　int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0)); 　　
     return min(mi[l][m],mi[r-(1<<m)+1][m]); 　　
} 　　
int rmqmax(int l,int r) 　　
{
 　　int m=floor(log((double)(r-l+1))/log(2.0)); 　　
     return max(mx[l][m],mx[r-(1<<m)+1][m]); 　　
}