求三角形重心 包括凹多边形的模板

 

 

求多边形重心的题目大致有这么几种：

1，质量集中在顶点上。n个顶点坐标为(xi,yi)，质量为mi，则重心
　　X = ∑( xi×mi ) / ∑mi
　　Y = ∑( yi×mi ) / ∑mi
　　特殊地，若每个点的质量相同，则
　　X = ∑xi / n
　　Y = ∑yi / n

2，质量分布均匀。这个题就是这一类型，算法和上面的不同。
　　特殊地，质量均匀的三角形重心：
　　X = ( x0 + x1 + x2 ) / 3
　　Y = ( y0 + y1 + y2 ) / 3

 

下面讨论这个题的解法：

以第一个顶点为基准，分别连接p[i]，p[i+1]，1<i<n。将多边形划分为若干个三角形。

若我们求出了每个三角形的重心和质量，可以构造一个新的多边形，顶点为所有三角形的重心，顶点质量为三角形的质量。这个新多边形的质量和重心与原多边形相同，即可使用第一种类型的公式计算出整个多边形的重心。

由于三角形的面积与质量成正比，所以我们这里用面积代替质量来计算。

现在有个问题就是，多边形有可能为凹多边形，三角形有可能在多边形之外。如何处理这种情况呢？

很简单，我们使用叉积来计算三角形面积，当三角形在多边形之外时，得到“负面积”就抵消掉了。
S =( x0*y1 + x1*y2 + x2*y0
- x1*y0 - x2*y1 - x0*y2 ) /2;

 

 

point bcenter(struct point pnt[], int n)//【可以用来做模板】
{
point p, s;
double tp, area = 0, tpx = 0, tpy = 0;

p.x = pnt[0].x; p.y = pnt[0].y;

for (int i = 1; i <= n; ++i)
{

s.x = pnt[(i == n) ? 0 : i].x;
s.y = pnt[(i == n) ? 0 : i].y;
tp = (p.x * s.y - s.x * p.y);//表示这两个点的叉乘，即这两个点与原点所围成的三角形的面积的两倍，由于采用叉乘方式，所有可能为负，所以，可以将该多边形外面的部分面积减去

area += tp/2 ;//加上这个面积，area为这个多边形的总面积
tpx += (p.x + s.x) * tp;
tpy += (p.y + s.y) * tp;
p.x = s.x;
p.y = s.y;
}
s.x = tpx / (6 * area);
s.y = tpy / (6 * area);
return s;
}