快速沃尔什变换（FWT）笔记
开头Orz hy，Orz yrx
部分转载自hy的博客
快速沃尔什变换，可以快速计算两个多项式的位运算卷积（即and，or和xor）
问题模型如下：
给出两个多项式$A(x)$，$B(x)$，求$C(x)$满足$C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$.
约定记号
$⊗$表示某种位运算（and，or和xor中的一种），若$a$，$b$是两个整数，则$a⊗b$表示对这两个数按位进行位运算；若$A$，$B$是两个多项式，则$A⊗B$表示对这两个多项式做如上卷积；两个多项式的点积用$·$表示。
FWT
感觉这个算法就是瞎凑出来的（大佬轻喷）
考虑对$A$和$B$做某种变换（类似FFT），使得变换之后对应位相乘之后逆运算就可以得到卷积$C(x)$。
那么这种变换$F(A)$（其中$A$是一个多项式）需要满足：
$F(A)·F(B)=F(A⊗B)$
$F(k\ast A)=k\ast F(A)$
$F(A+B)=F(A)+F(B)$
那就瞎凑呗，考虑用类似FFT的分治思想来解决，把多项式$A$的下标按照二进制最高位分类，最高位为0的记为$A_0$，为1的记为$A_1$，则$A=(A_0,A_1)$。
继续凑，设$F(A)=(k_{1}A_{0}+k_{2}A_{1},k_{3}A_{0}+k_{4}A_{1})$，那么要做的就是求出这四个常数。
不难发现$(k_{1},k_{2})$与$(k_{3},k_{4})$并没有本质上的区别，即求出了前半部分的多个解取其中两个代入即可。
将结果写作$(C_{0},C_{1})$，看回之前变换的定义，这里分类讨论：
对于$and$：
因为
$0⊗0=0$，$1⊗0=0$，$0⊗1=0$，$1⊗1=1$
所以
$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0}+A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0},A_{1}⊗B_{1})$
用两种方法表示$C$，可得
$(k_{1}A_{0}+k_{2}A_{1})·(k_{1}B_{0}+k_{2}B_{1})$
$=k_{1}(A_{0}⊗B_{0}+A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0})+k_{2}(A_{1}⊗B_{1})$
拆括号得：
$k_{1}^{2}(A_{0}⊗B_{0})+k_{1}k_{2}(A_{0}⊗B_{1})+k_{1}k_{2}(A_{1}⊗B_{0})+k_{2}^{2}(A_{1}⊗B_{1})$
$=k_{1}(A_{0}⊗B_{0})+k_{1}(A_{0}⊗B_{1})+k_{1}(A_{1}⊗B_{0})+k_{2}(A_{1}⊗B_{1})$
则有：
$\begin{cases}
k_{1}=k_{1}^{2} \\
k_{1}=k_{1}k_{2} \\
k_{2}=k_{2}^{2}
\end{cases}$
解得$\begin{cases} k_{1}=0 \\k_{2}=0\end{cases}$或$\begin{cases} k_{1}=1 \\k_{2}=0\end{cases}$或$\begin{cases} k_{1}=1 \\k_{2}=1\end{cases}$
考虑到要可以逆变换，所以解不能选两个相同的或者两个零（类似于求逆矩阵），因此这里只能选$(0,1)$和$(1,1)$两组解
令$(k_{1},k_{2})=(1,1)$，$(k_{3},k_{4})=(0,1)$
把系数写成矩阵，那么
$\begin{bmatrix} k_1 & k_2 \\ k_3 & k_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
把矩阵求逆，就可以得到逆变换的系数：
$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
对于$or$：$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0},A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0}+A_{1}⊗B_{1})$
正变换：$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
逆变换：$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
对于$xor$：$(A_{0},A_{1})⊗(B_{0},B_{1})=(A_{0}⊗B_{0}+A_{1}⊗B_{1},A_{0}⊗B_{1}+A_{1}⊗B_{0})$
正变换：$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
逆变换：$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$
代码（洛谷P4717）：
1 #include<iostream>
2 #include<cstring>
3 #include<cstdio>
4 #include<cmath>
5 #define OR 0
6 #define AND 1
7 #define XOR 2
8 using namespace std;
9 typedef long long ll;
10 const int mod=998244353;
11 int inv2,bit,bitnum,n,m,a[1000001],b[1000001],a1[1000001],a2[1000001],a3[1000001],b1[1000001],b2[1000001],b3[1000001];
12 int fastpow(int x,int y){
13 int ret=1;
14 for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod){
15 if(y&1)ret=(ll)ret*x%mod;
16 }
17 return ret;
18 }
19 void fwt(int s[],int n,int ty,int op){
20 for(int i=2;i<=n;i<<=1){
21 for(int j=0;j<n;j+=i){
22 for(int k=0;k<i/2;k++){
23 int x=s[j+k],y=s[j+k+(i>>1)];//A0,A1
24 if(op==1){
25 if(ty==OR){
26 s[j+k+(i>>1)]=(x+y)%mod;
27 }else if(ty==AND){
28 s[j+k]=(x+y)%mod;
29 }else{
30 s[j+k+(i>>1)]=(x+mod-y)%mod;
31 s[j+k]=(x+y)%mod;
32 }
33 }else{
34 if(ty==OR){
35 s[j+k+(i>>1)]=((ll)y-x+mod)%mod;
36 }else if(ty==AND){
37 s[j+k]=(ll)((ll)x+mod-y)%mod;
38 }else{
39 s[j+k+(i>>1)]=(ll)((ll)x+mod-y)*inv2%mod;
40 s[j+k]=(ll)(x+y)*inv2%mod;
41 }
42 }
43 }
44 }
45 }
46 }
47 int main(){
48 scanf("%d",&bitnum);
49 bit=(1<<bitnum);
50 inv2=fastpow(2,mod-2);
51 for(int i=0;i<bit;i++)scanf("%d",&a[i]),a1[i]=a[i],a2[i]=a[i],a3[i]=a[i];
52 for(int i=0;i<bit;i++)scanf("%d",&b[i]),b1[i]=b[i],b2[i]=b[i],b3[i]=b[i];
53 fwt(a1,bit,0,1);
54 fwt(a2,bit,1,1);
55 fwt(a3,bit,2,1);
56 fwt(b1,bit,0,1);
57 fwt(b2,bit,1,1);
58 fwt(b3,bit,2,1);
59 for(int i=0;i<bit;i++){
60 a1[i]=(ll)a1[i]*b1[i]%mod;
61 a2[i]=(ll)a2[i]*b2[i]%mod;
62 a3[i]=(ll)a3[i]*b3[i]%mod;
63 }
64 fwt(a1,bit,0,-1);
65 fwt(a2,bit,1,-1);
66 fwt(a3,bit,2,-1);
67 for(int i=0;i<bit;i++)printf("%d ",a1[i]);
68 printf("\n");
69 for(int i=0;i<bit;i++)printf("%d ",a2[i]);
70 printf("\n");
71 for(int i=0;i<bit;i++)printf("%d ",a3[i]);
72 return 0;
73 }
