【BZOJ5020】[LOJ2289]【THUWC2017】在美妙的数学王国中畅游 - LCT+泰勒展开
咕咕咕？咕咕咕！
题意：
Description
数字和数学规律主宰着这个世界。
机器的运转，
生命的消长，
宇宙的进程，
这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。
这印证了一句古老的名言：
“学好数理化，走遍天下都不怕。”
学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。
数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：
正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]
数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。
数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。
Input
第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。
表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。
typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。
其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。
接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。
一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若
f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])
f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])
f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])
接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。
appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。
disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。
magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数
travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v
（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。
若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。
1≤n≤100000,1≤m≤200000
Output
对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。
Hint
【小R教你学数学】
若函数$f(x)$的$n$阶导数在$[a,b]$区间内连续，则对$f(x)$在$x_0(x_0∈[a,b])$处使用$n$次拉格朗日中值定理可以得到带拉格朗日余项的泰勒展开式：
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)(x-x_0)}{1!}+\frac{f^{''}(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+\cdots +\frac{f^{(n-1)}(x_0)(x-x_0)^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n}{n!}$$
$$x∈[a,b]$$
其中，当$x>x_0$时，$\xi∈[x_0,x]$。当$x<x_0$时，$\xi∈[x,x_0]$
$f^{(n)}$表示函数$f$的$n$阶导数
题解：
提示直接告诉你做法啊……
LCT维护操作谁都会，主要是维护这三个函数的值；
首先根据提示把三个函数分别泰勒展开，若干项之后误差就会很小，实测取十五位就可以满足精度要求；
考虑询问，要求的实际上就是$\sum\limits_{i∈<u,v>}F(x)$（其中$x$表示那个人的智商）；
因此$x$是一个定值，泰勒展开式里每一项的$\frac{(x-x_0)^i}{i!}$可以直接提取出来，LCT维护每个点子树中所有函数的0到15阶导之和，计算答案时再乘回去就行了；
具体实现我选了在$x=1/2$处展开；
时间复杂度$O(15nlogn)$，常数略大
代码：
1 #include<algorithm>
2 #include<iostream>
3 #include<cstring>
4 #include<cstdio>
5 #include<cmath>
6 #include<queue>
7 #define inf 2147483647
8 #define eps 1e-9
9 using namespace std;
10 typedef long long ll;
11 typedef double db;
12 const double pi=acos(-1.0);
13 const double e=pow(2,1/log(2));
14 struct node{
15 int fa,rev,son[2];
16 db s[15];
17 }t[500001];
18 int n,m,x,y,top,st[100001],f[100001];
19 db ans,k,t1,t2,a[100001],b[100001];
20 char ty[15];
21 void updata(int u){
22 if(f[u]==1){
23 t[u].s[0]=sin(a[u]*.5+b[u]);
24 t[u].s[1]=cos(a[u]*.5+b[u])*a[u];
25 for(int i=2;i<15;i++){
26 t[u].s[i]=-t[u].s[i-2]*(a[u]*a[u]);
27 }
28 }else if(f[u]==2){
29 t[u].s[0]=pow(e,a[u]*.5+b[u]);
30 for(int i=1;i<15;i++){
31 t[u].s[i]=t[u].s[i-1]*a[u];
32 }
33 }else{
34 t[u].s[0]=a[u]*.5+b[u];
35 t[u].s[1]=a[u];
36 for(int i=2;i<15;i++)t[u].s[i]=0;
37 }
38 for(int i=0;i<15;i++){
39 t[u].s[i]+=t[t[u].son[0]].s[i]+t[t[u].son[1]].s[i];
40 }
41 }
42 bool ntrt(int u){
43 return t[t[u].fa].son[0]==u||t[t[u].fa].son[1]==u;
44 }
45 bool sn(int u){
46 return t[t[u].fa].son[1]==u;
47 }
48 void getr(int u){
49 swap(t[u].son[0],t[u].son[1]);
50 t[u].rev^=1;
51 }
52 void pushr(int u){
53 if(t[u].rev){
54 if(t[u].son[0])getr(t[u].son[0]);
55 if(t[u].son[1])getr(t[u].son[1]);
56 t[u].rev=0;
57 }
58 }
59 void rotate(int u){
60 int f=t[u].fa,ff=t[f].fa,ch=sn(u),cf=sn(f);
61 if(ntrt(f))t[ff].son[cf]=u;
62 t[f].son[ch]=t[u].son[ch^1];
63 t[t[f].son[ch]].fa=f;
64 t[u].son[ch^1]=f;
65 t[f].fa=u;
66 t[u].fa=ff;
67 updata(f);
68 updata(u);
69 }
70 void splay(int u){
71 st[top=1]=u;
72 for(int nw=u;ntrt(nw);nw=t[nw].fa)st[++top]=t[nw].fa;
73 while(top)pushr(st[top--]);
74 for(;ntrt(u);rotate(u)){
75 int f=t[u].fa;
76 if(ntrt(f)){
77 rotate(sn(u)^sn(f)?u:f);
78 }
79 }
80 }
81 void access(int u){
82 for(int nw=0;u;nw=u,u=t[u].fa){
83 splay(u);
84 t[u].son[1]=nw;
85 updata(u);
86 }
87 }
88 void mkroot(int u){
89 access(u);
90 splay(u);
91 getr(u);
92 }
93 void split(int u,int v){
94 mkroot(u);
95 access(v);
96 splay(v);
97 }
98 void link(int u,int v){
99 mkroot(u);
100 t[u].fa=v;
101 }
102 void cut(int u,int v){
103 split(u,v);
104 t[u].fa=t[v].son[0]=0;
105 updata(v);
106 }
107 int getroot(int u){
108 access(u);
109 splay(u);
110 while(t[u].son[0]){
111 pushr(u);
112 u=t[u].son[0];
113 }
114 return u;
115 }
116 int main(){
117 scanf("%d%d%s",&n,&m,ty);
118 for(int i=1;i<=n;i++){
119 scanf("%d%lf%lf",&f[i],&a[i],&b[i]);
120 }
121 for(int i=1;i<=m;i++){
122 scanf("%s",ty);
123 if(ty[0]=='a'){
124 scanf("%d%d",&x,&y);
125 x++,y++;
126 link(x,y);
127 }else if(ty[0]=='d'){
128 scanf("%d%d",&x,&y);
129 x++,y++;
130 cut(x,y);
131 }else if(ty[0]=='m'){
132 scanf("%d",&x);
133 x++;
134 mkroot(x);
135 scanf("%d%lf%lf",&f[x],&a[x],&b[x]);
136 updata(x);
137 }else{
138 scanf("%d%d%lf",&x,&y,&k);
139 x++,y++;
140 if(getroot(x)!=getroot(y))puts("unreachable");
141 else{
142 ans=0;
143 t1=t2=1;
144 split(x,y);
145 for(int i=0;i<15;i++){
146 ans+=t[y].s[i]*t2/t1;
147 t1*=(i+1);
148 t2*=(k-.5);
149 }
150 printf("%.8e\n",ans);
151 }
152 }
153 }
154 return 0;
155 }
