[Ynoi2016] 镜中的昆虫 题解

[Ynoi2016] 镜中的昆虫 题解

好题值得一做。

题目大意：给一个序列，有若干个离线询问，每次可以区间推平或询问区间内的颜色个数，数据范围是 \(10^5\) 级别。

解题思路：我们可以先考虑一个弱化版，每次是单点修改怎么做，类似于 CF848C。

我们考虑维护出每一个位置上一个与它相等的位置是 \(pre_i\)，那么区间内数颜色就是求二维偏序 \(l\le i\le r\land pre_i<l\)。

我们又发现，每次单点修改只会有 \(O(1)\) 个位置的 \(pre\) 被修改，可以对每个颜色开一个 set 方便维护每次 \(pre\) 的变化。

之后我们就把修改和查询都离线下来，这样多了时间一维的限制，跑 cdq分治 即可，复杂度 \(O(n\log ^2n)\)。

考虑完弱化版，本题怎么做呢？可以发现即使是区间推平，\(pre\) 数组的总变化量是均摊 \(O(n+m)\) 的。

证明也很容易想，考虑到新推平的区间覆盖了原来的若干个区间，那么只有原来若干个区间的左端点的 \(pre\) 会改变，而区间的其他位置 \(i\) 由于与前面的颜色仍然相同，保持 \(pre_i=i-1\) 不变。而每个区间只会被覆盖一次，一共只有 \(O(n+m)\) 个区间。

当然还有这些被覆盖区间的相同颜色后继区间的左端点会被改变。以及 \(L,R+1\) 也可能改变。但总的还是 \(O(n+m)\)。

实现方面，不仅对每种颜色开一个 set，里面存放这种颜色的每个区间，这样可以方便维护出贡献。还要对所有区间开一个 set，同时存放颜色，这样可以方便地删除区间。

而且我们不要一边删除区间一边算贡献，先把所有可能会改变的点存起来，把它们的贡献去掉，之后修改 set 至当前状态，再把这些点的贡献加上。

对于 cdq分治 部分，不要把询问与修改放在同一个容器里，可以分治时间，把左半时间的修改和右半时间的询问分别放进 vector 里，然后分别排序，然后用双指针扫两个 vector。是不是很类似整体二分的写法呢？

最后 \(pre\) 的变化量是 \(O(n)\) 级别的，用 set 处理是 \(O(n\log n)\)，分治部分是 \(O(n\log ^2n)\)。总复杂度为 \(O(n\log ^2n)\)。