[PA2019] Desant Solution

[PA2019] Desant Solution

原题链接。

题目大意：给定一个长为 $n(n\le 40)$ 的排列，对于每个 $i$ 求出长度为 $i$ 的子序列逆序对最少有多少，并且求出有多少个长度为 $i$ 的子序列逆序对最少。

解题思路：首先有一个暴力的做法，设 $f_{i,S}$ 表示考虑完前 $i$ 个数，选择了集合 $S$ 的最少逆序对数、方案数。这样做至少是 $O(n{2}^n)$，非常不优美。我们发现我们只关心比当前位置大的数有多少个，所以我们把 $S$ 中所有数都记录下来是有些多余的。考虑优化状态。

对于考虑完了前 $i$ 个数，我们把 $i$ 以后的数排序，记为 $x_1,x_2,\cdots$，我们只需要记录 $[1,x_1),(x_2,x_3),\cdots ,(x_{end},n]$ 这样每个区间内选了多少个数即可。于是我们可以设状态 $f_{i,T_1,T_2,\cdots }$，$T_i$ 表示第 $i$ 个区间内选了多少个数。

考虑计算状态的个数，我们就是求和为 $n$ 的若干个数乘积最大是多少。严谨证明我不会，但是根据小学奥数，我们只要尽可能多拆 $3$，其次拆 $2$，尽量少拆成 $1$，这是因为如果我们考虑一个大于 $3$ 的数，把它对半拆开乘积一定会更大，如 $5<2\times 3$。因此可以想到，最坏情况下，状态数是 $O(3^{\frac{n}{3}})$，实际上这与严谨证明下的结论一致。因此状态数是可行的。

再回到状态上来，我们可以对于第 $i$ 个长度为 $le{n}_i$ 的区间，用第 $i$ 位上的 $(le{n}_i+1)$ 进制表示，即记 $w_i=\prod _{j=1}^{i-1}(le{n}_j+1)$，设 $cn{t}_i$ 为第 $i$ 个区间选了多少个数，则 $T=\sum _{i=1}^{end}cn{t}_i{w}_i$，这样就能用整型表示状态 $f_{i,T}$，用 vector 连续开 $\prod (le{n}_i+1)$ 个位置即可，比哈希快多了。

而对于转移，每次决策选或不选都会合并两个区间。暴力地拆出状态的每一位和合并状态的每一位即可。

时间复杂度 $O(n^2{3}^{\frac{n}{3}})$，注意方案数要开 long long。

AC 代码：

int n;
const int N=45;
int a[N];
int l[N],w[N][N],c[N][N];
vector<pair<int,ll> > f[N];
int now[N];
void getmax(pair<int,ll> &x,pair<int,ll> y){
	if(x.first>y.first)x=y;
	else if(x.first==y.first)x.second+=y.second;
}
signed main(){
	read(n);
	fo(i,1,n){
		read(a[i]);
	}
	fo(i,0,n){
		fo(j,i+1,n){
			c[i][++l[i]]=a[j];
		}
		c[i][++l[i]]=n+1;
		sort(c[i]+1,c[i]+1+l[i]);
		int t=1;
		fo(j,1,l[i]){
			w[i][j]=t;
			t*=c[i][j]-c[i][j-1];
		}
		f[i]=vector<pair<int,ll>>(t,{1e9,0});
	}
	f[0][0]={0,1};
	fo(i,0,n-1){
		int at=0;
		fo(j,1,l[i])if(c[i][j]==a[i+1])at=j;
		fu(j,0,f[i].size()){
			int t=j;
			fd(k,l[i],1){
				now[k]=t/w[i][k];
				t%=w[i][k];
			}
			int cnt=0;
			fo(k,at+1,l[i])cnt+=now[k];
			int t1=0,t2=0;
			fo(k,1,at-1)t1+=now[k]*w[i+1][k];
			fo(k,at+2,l[i])t1+=now[k]*w[i+1][k-1];
			t2=t1;
			t1+=(now[at]+now[at+1])*w[i+1][at];
			t2+=(now[at]+now[at+1]+1)*w[i+1][at];
			getmax(f[i+1][t1],f[i][j]);
			getmax(f[i+1][t2],{f[i][j].first+cnt,f[i][j].second});			
		}
	}
	fo(i,1,n)write(f[n][i].first,' ',f[n][i].second,'\n');
	return 0;
}