NOIP 2024 游记 & 赛前训练总结

NOIP 2024 游记 & 赛前训练

前面都是比赛前的训练，会含有一些比赛经验。游记写在最后。

day #-18（11.11）

赛时

今天做信友错的模拟赛。

第一题是和最短路有关的，看到 $n\le 500$ 就想到了 $n^3\log n$，然而看了很久都不会做，于是果断火速打了 $O(n^4)$ 的暴力走人，get 50pts。

然后看第二题，发现是最大异或路径，正好最近刚学了线性基，于是想到之前做的一道线性基的题目，把每个环加入线性基。然后就能做到 $n^2$，再补一个树的性质。get 55pts。此时比赛刚过一小时。

很快啊，其他人还在做 T1，我就开了 T3。看了一会想到用并查集维护，再记录修改前的以实现撤销。发现大样例都过了，此时我还以为复杂度是正确的，此时比赛刚刚过半。但是去了一下洗手间，就想到可以构造一条链卡到平方，这个做法只能过随机的性质和不撤销的性质。于是又补了链的性质。get 55pts。

此时光靠暴力已经得到 160pts 了。

比赛刚过半，看了一下第四题，觉得还是要先补一下第一题的性质，补了一个性质 A，多得了 10pts。

这时我去尝试想中间两道题的正解，无获，于是开始打最后一题的暴力。

后半程有点松弛。

发现暴力分很多啊，在最后 20 分钟写完了 $n\le 9$ 的 40pts 暴力，然后又补了前两个性质共 8pts。

赛后 & 总结

然后——比赛结束，最后一题 48pts $\to$ 60pts，最后总分 $50+55+55+60=230$ 喜提总榜 14，jz 第 3，原来是暴力场。

赛后发现 T1 是线段树分治的思想，还有 Floyd 插入单个点的技巧，我们只以一个点集内的点为中转点转移（插入顺序没有要求），就可以求出只经过（不包括起点终点）这个点集内的点的最短路。

T2 是线性基的结论，$qmax(i\oplus j)=qmax(i)\oplus qmin(j)$。

T3 是树剖+线段树的 4K 大数据结构，就是把轻链的贡献全部挂在重链上，有点类似动态 DP 那种。

T4 是论文题，用结论的式子计数。而暴力就是递归，然后在递归过程中进行剪枝就能跑得比较快。

总结：这场比赛时间分配还不错，前面暴力打得比较快，调试也没花多少时间，大概是经验越来越丰富了吧。但可惜后面充裕的时间内没有想出正解，其实正解是不难的，还有提升空间。

改题经验

改 T3 的时候有一个数组没开 long long，幸好很快就查出来了。

改 T1 的时候在分治时把枚举 $[l,mid]$ 写成 $[1,mid]$ 了。

day #-14（11.15）

今天输了！

20:35 开始打 CF div.2。

顺序开题。

T1 是唐题，T2 是唐题。

T3 我蠢了，1 h 时还没过，于是去写 T4。

T4 也想了不少时间，终于想到一个用 set+BIT 的做法。

T5 是树同构，我还以为要换根于是没写。

T6 是交互，没看。

最后成果：T1+T2+T4。

赛后发现 T3 的正解就是我想的那样，结果 tm 的 T5 的同构是有根树下的，又被骗了。

谴责 CF 的题面跟 shi 一样长。

总结：

• 要有耐心，不要因为前面的题不会，后面就不去想了。
• 不要花太多时间在一道题目上，扔掉后就不要再去想它了。

day #-13（11.16）

今天又做心有错。

T1 简单题。

后面都不会做，把暴力都拿了。

预计：100+60+60+50=260。

实际：72+60+60+20=212。

T1 我自信地认为 $n^3\times V$ 不会爆 long long，导致我没有取模。

而 T4 不知道为什么 $O(n^3)$ 没有拿到第二档分，tm 的 OI 赛制还绑 subtask。

赛后

T2 是对于长度相同的区间的线段树是同构的，运用这个性质记忆化递归。

T3 题面很简单，正解是神奇哈希，被骗啦，哈哈哈，把 shi 题放在 T3 让人以为是科技题。大概是把 $n$ 个位置用哈希值转化成 $\sum$ 个字符的不同情况。

T4 是分治，矩形分为跨过分界线和不跨过两种，不跨过是子问题，递归求解；跨过可以暴力做。每次对当前矩形割长的一边，这样复杂度就正确了，时间是 $T(n)=4T(n/2)+O(n^2)=n^2\log n$。

总结

• 要有耐心，要充分利用时间。
• 要注意数据范围，记得取模，不要想当然。
• 神奇的题要想想神奇的算法，比如哈希之类的，这又让我想起星战那道奇葩题。

dsy #-9（11.20）

心有错。

赛时

T1 想到二分答案，然后就不会做了，我都要以为是罚坐场了。

前面浪费了一个小时，然后去开 T2，写了一个 $O(n^2)$ 暴力，对着边权讨论一下，然后终于想到了用线段树模拟最短路的过程，写完已经十一点了。

后面的时间打了剩下三题的暴力，这时感觉 T4 有点像哈希，但是觉得敲不出来了，就没继续想。

赛后

发现 T1 是我不会证的结论（猜结论题），T3 是 SG 函数的规律（打表题），T4 真的是哈希。

之后新学了博弈论相关的知识。

总结

• 这场比赛在第一题浪费太多时间了，应该猜到题目不按难度排列的，一定要先做擅长的题和有想法的题。

day #-4（11.25）

今天的题都挺好的，但就是我没做出来几道，感觉思维不够敏捷了？这一周一定要努力了。

今天还是做心有错，T1 浪费了我一个半小时，T2 已经接近正解了，T3 用了错解结果过了，T4 其实不算难题但我没看。

T1

TAG：线性筛、质因数分解、最优化分解。

这道题很容易想到 $O(T{\displaystyle \frac{\sqrt[k]{n}}{\ln \sqrt[k]{n}}})$ 的做法，就是当 $k=3$ 时，质数分解到 $2^{20}$，之后枚举所有质数即可。

然后我就绞尽脑汁没想到正解，但我想到和正解很接近的思路：
发现有很多小的质数对答案没有贡献，那怎么去掉它们呢？

然后我并不知道怎么去掉它们，原来只需要把 $\sqrt[k+1]{n}$ 的质数筛掉，剩下的最多是三个质数相乘，这个时候直接把剩下的 $n$ 开根即可，时间复杂度 $O(T\sqrt[k+1]{n})$，由于 $k$ 随机所以可过。

细节：我们需要用 powl(n,(long double)1/K) 进行开根，但由于指数是小数，所以还是有精度问题，我们还需要 roundl 进行四舍五入。

T2

TAG：逆序对、二维平面、扫描线。

这题我比赛时想到了：
如果选 $i,j(i<j)$，那么答案为 $1+2\sum _{k=i+1}^j[a_i>a_k>a_j]$。

赛时写了一个严格 $O(n^2)$ 的做法，就是预处理 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中 $a_i$ 大于 $j$ 的个数。

赛时还想到放到二维平面上，把每个位置看成一个点 $(i,a_i)$，那么就是求一个矩形内点最多有多少个，要满足矩形左上角和右下角是一个点。

赛时觉得左上角应该是一个上凸包，右下角是一个下凸包，然后时间不够了，也没有再深度思考。

而实际上左上角是前缀最大值，右下角是后缀最小值。

发现我们枚举点对 $(i,j)$ 不好统计，而且点对也是 $O(n^2)$ 的。

考虑 $(k,a_k)$ 对那些 $(i,j)$ 有贡献。

发现满足条件的 $i$ 是一个区间 $j$ 也是一个区间，记它们为 $[l_{1,k},r_{1,k}],[l_{2,k},r_{2,k}]$。

那么再把它放到二维平面上，就是 $x=[l_{1,k},r_{1,k}],y=[l_{2,k},r_{2,k}]$ 的一个矩形内的点有 $+1$ 的贡献。

那么线段树扫描线找到被最多矩形覆盖的点即可。

把一个矩形 $[l_{1,k},r_{1,k}],[l_{2,k},r_{2,k}]$，分为 $(l_{1,k},r_{1,k},l_{2,k},1)$ 和 $(l_{1,k},r_{1,k},r_{2,k}+1,-1)$ 即可。

T3

TAG：最小生成树、Prim、Kruskal、线段树、均摊、启发式合并。

做法 1

考虑 Kruskal。

把点按点权重标号，然后用 vector 和并查集维护每一个连通块内的点与每个点属于哪一个连通块，set 维护当前每个不同的连通块编号。

对于给的边就直接加；对于剩下的边，我们每次尝试向一个不同连通块内的点连边，失败次数是 $O(m)$ 的，成功次数是 $O(n)$ 的，于是均摊复杂度就是正确的。

合并 vector 需要启发式合并。

时间复杂度 $O((n+m)\log n)$。

考场上想到了均摊，但是没想到如何维护不同的连通块，但是写了一个相似的可以被卡掉的做法，但结果过了。

做法2

考虑 Prim，也就是每次找离连通块内最近的点加入连通块。

可以用线段树维护离连通块的距离与取出一个最近的点。

更新距离时，所有点的更新被给定的边分成了 $O(m+n)$ 个区间赋 $a_i$。

时间复杂度 $O((n+m)\log n)$。

T4

发现取带权重心最优。

这题是动态寻找带权重心，用倍增找。然后权值和需要用较复杂的容斥，需要预处理多个树上 DP 数组，同时还需要换根 DP。

用到的算法并不难，一些结论也大概能猜到，就是在计算上的细节比较多。

总结

• 题目难度不一定顺序，不要花太多时间在看起来很简单的题上。
• 正难则反，多从不同角度思考问题。
• 多从学过的算法中找思路和灵感。
• 使用 powl 时，记得用 ruondl，记得用 long double。
• 可以尝试把序列上的统计问题放到二维平面上思考。
• 统计 $x$ 有多少个 $y$ 时，可以考虑对于每个 $y$ 思考它能贡献到哪些 $x$。
• 可以用线段树扫描线做最多覆盖问题，用差分做矩形的扫描线。
• 用启发式合并合并 set，vector 等。
• 最短路、最近点可以考虑放到线段树上优化更新和取点。
• 树上问题多考虑考虑重心或直径，从中寻找性质。

day #-3（11.26）

P1445 [Violet] 樱花

下午做了这一道奇葩的蓝题，我想了一个小时都不会做。

题意大概是给定 $n,1\le n\le {10}^6$，问 $1/x+1/y=1/(n!)$ 的正整数解的个数。

大概是这样的：

$$xn!+yn!=xy$$

$$x(y-n!)=yn!$$

$$x={\displaystyle \frac{yn!}{y-n!}}$$

于是可以得到 $y>n!$，那么设 $y=n!+k$，$k$ 是正整数。

带入得

$$x={\displaystyle \frac{n{!}^2+kn!}{k}}$$

$$x={\displaystyle \frac{n{!}^2}{k}}+n!$$

于是对于任意 $k$ 满足 $k\mid n{!}^2$，都有对应的一个 $x$，也就有对应的一组 $(x,y)$。

于是答案就是 $d(n{!}^2)$，考虑枚举每个质数 $p$ 的倍数，计算 $p$ 在每个数中的指数和，记为 $cn{t}_p$，答案就是 $\prod _p(cn{t}_p+1)$。

时间复杂度为 $O(n\ln n)$。

day #-2（11.27）

今天挂了 90 pts！！！

原因是 T1 在本地过了大样例后没造大数据，也没写对拍，于是最终的代码数组越界，然而测大样例时数组越界在 windows 下还能正常跑！
以后一定要造大数据或者在虚拟机上跑，windows 不可信。

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今天做信友队。

T1

TAG：容斥、枚举。

T1 考虑如果两个点集有交，那么交的部分就减去，枚举一个点，再枚举两个有交点集所在的位置，给它们打上一个减去的标记，这部分是 $O(nm{k}^2)$。

然后枚举两个点集计算答案，这部分是 $O(n^2{m}^2)$。

于是时间和空间都是 ${10}^8$ 级别。

T2

TAG：随机化、调整法。

sb 出题人把 sb 脑电波题放在 T2，全场没人过。

题目大意：对于一个 $n\ast n$ 的方阵，每个格子是 $0/1$，方案数定义为不经过 $0$ 每次往下或往右，从左上角走到右下角的方案数。求构造一个方案数为 $L$ 的 $n\le 30$ 的方阵。

这道题是随机化，然而 sb 题解并没有证明，代码也很好打，就是调整法，每次贪心地调整最大的，多随机几次初始矩阵就可以通过。

T3

TAG：背包、增量构造、多项式、递推。

这题是好题。

题目大意：给你 $n$ 行 $m$ 列数字，每行选一个数，求在所有选择方案中选出的数的中位数的期望。

赛时做法

考虑枚举最后的中位数 $x$，然后计算中位数为 $x$ 的方案数，考虑背包设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 行选了 $j$ 个小于 $x$ 和 $k$ 个等于 $x$ 的方案数。

由于 $k$ 上界的和为 $O(nm)$ 于是复杂度为 $O(n^{3}m)$。

我真的不懂为什么 $O(n^4)$ 和 $O(n^5)$ 都一样只有 20pts，但愿正式赛会好一点。

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然后我就想怎么优化，发现这样求方案数的话，不同中位数之间是没有关联的。

考虑求中位数小于等于 $x$ 的方案数 $an{s}_x$，于是等于的就是 $an{s}_x-an{s}_{x-1}$。

中位数小于等于 $x$ 的方案数就要求至少有 ${\displaystyle \frac{n+1}{2}}$ 行选的数要小于等于 $x$，发现这只与每一行小于等于 $x$ 的数的个数有关。

然后我就不会了，觉得这个东西还是需要背包。

正解

我们考虑可以把背包刻画成多项式的形式，如果我们要求中位数小于等于 $x$ 的，设 $cn{t}_i$为第 $i$ 行小于等于 $x$ 的个数，那么就有 $an{s}_x=[x^{\frac{n+1}{2}}]F(x)=[x^{\frac{n+1}{2}}]\prod _{i=1}^n[(m-cn{t}_i)+cn{t}_{i}x]$。

考虑把所有 $a$ 排序后依次加入 $cnt$ 中，这样就能算出每个 $x$ 的 $an{s}_x$。

考虑加入第 $i$ 行的 $a$ 后多项式怎么变化，考虑到有 $O(nm)$ 个数，我们只需 $O(n)$ 暴力修改多项式即可。

初始时 $F(x)=m^n$。

然后 $cn{t}_i\to cn{t}_i+1$，我们可以先除以再乘上。

先考虑乘上，如果我们乘上 $(a+bx)$，那么设 $f_i$ 为 $i$ 次项系数，则

$$f_0^{\prime }=a{f}_0$$

$$f_i^{\prime }=a{f}_i+b{f}_{i-1}$$

移项后就能得到除法的式子，如果我们除以 $(a+bx)$，则

$$f_0={\displaystyle \frac{f_0^{\prime }}{a}}$$

$$f_i={\displaystyle \frac{f_i^{\prime }-b{f}_{i-1}}{a}}$$

发现乘法要从大往小做，除法要从小往大做。

T4

TAG：期望、DP、高斯消元。

这道题鉴定为没有使用过高斯消元做期望问题，现在会了。

part 1

先判断无解的，对 $O(n^2)$ 个点建图，从能出去的点跑搜索看哪些点出不去。

part 2

对所有 $(i,v),|v|\le n$ 的点取出来，建边然后跑高斯消元，时间为 $O(n^6)$。

part 3

发现如果 $v>O(\sqrt{n})$ 那么前面已经走了 $O(n)$ 距离，已经走出去了，于是只需要 $|v|\le O(\sqrt{n})$ 的点。

时间复杂度为 $O((n\sqrt{n}{)}^3)=O(n^{4.5})$。

part 4

再优化点数，考虑把一个点的期望表示成 $f_i=C+\sum _j{a}_{i,j}{f}_j$，$C$ 是常数。如果可以那么就能做到 $O(n^3)$。

考虑计算从 $(i,0)$ 开始，对于每一个 $j$ 中间不经过其他 $(x,0)$ 到达 $(j,0)$ 的期望步数、概率，以及直接走出去的期望步数、概率。
这里的期望步数求的是已经乘过概率的，比方说设 $q_i$ 表示起点走到它的概率，$c_i$ 表示起点走到它的期望步数（没有乘上 $q_i$ 的）、我们求的实际上是 $q_i,C_i(C_i=q_i{c}_i)$，因为 $c_i$ 是不好转移的。
而且我们最后算的也是乘上概率后的期望步数和，即 $C_i$ 的和。

举例：
$1{\to }^{\frac{1}{2}}\to 2,1{\to }^{\frac{1}{2}}\to 3$。
就有：
$c_2=c_3=1,q_2=q_3=\frac{1}{2},C_2=C_3=\frac{1}{2}$。

而就有转移，设 $p_i$ 为走过出边的概率：

$$q_i=\sum q_j{p}_j$$

$$C_i=q_i+\sum C_j{p}_j$$

发现对于 $j<i$，一定始终有 $v<0$，对于 $j>i$ 一定始终有 $v>0$，即转移的图是一个 DAG。

于是便可以 DP，这一部分是 $O(n^3)$。

最后就表示成了，设 $C^{\prime }$ 表示直接走出去的期望步数，$f_i=\sum _j{q}_{i,j}{f}_j+C^{\prime }+\sum _j{C}_{i,j}$。

移项得 $-f_i+\sum _j{q}_{i,j}{f}_j=-C^{\prime }-\sum _j{C}_{i,j}$，高斯消元 $O(n^3)$。

高斯消元的时候直接把无解的行列全变成 0 即可。

总结

• 一定要写对拍、造大数据、在虚拟机上过编译。
• 背包的转移可以尝试刻画成多项式的形式。
• 期望问题可以高斯消元，高斯消元可以尝试优化点数，可以用 DP 先处理出特殊点之间的关系以尝试优化点数。

day #-1

今天做线下模拟赛，同样的，去实际考场断网做比赛。

今天打的非常好，没有挂分，$100+100+80+30=310$，获得了前 $10$ 名。

赛时

今天是顺序开题，先看 T1，想到在上一次的生成树上改，似乎是经典结论：在树上加一条边后会形成一个环，把环上最大的边取走就可以得到新的生成树，我写的是 $O(n^2\log n+qn)$ 但实际上可以用 $Prim$ 做到 $O(n^2+nq)$，评测时也是 800ms 惊险地卡过了。
发现有的人 $O(n^2\log n+qn\log n)$ 被卡了、还有人 $4\ast {5000}^2$ MLE 了。

T2 很 sb 但还是惊险地过了。发现数据随机，想到是神奇的做法。
一开始想到类似某次 ABC 的 G 题那样，查询枚举子集、修改再枚举子集，数据随机可以做到 $O(n+3^m)$，但没有优化前景。
然后又打表发现后面的询问的答案都非常小，于是考虑每次从小到大枚举修改的位数，然后发现它跑得飞快，大约 500ms。
其实这个做法和 bfs 搜索是本质相同的，复杂度或许可以证明是正确的，大概就是因为本质是 $m$ 维空间的最小曼哈顿距离，空间中的点一定会越来越密集，所以跟数据随机并没有什么关系。

打完前题大概是 $9:30$，比赛是 $7:30$ 开始的，经过 2h 了，速度中规中矩。

T3 经过我艰辛的打表，终于发现了 $A$ 性质的充要条件，我也没有证明，但它对了。

获得 80 pts 后其实还剩一个多小时，但我想先去看 T4。

T4 想到网络流，但是并没有这一档分，想着多骗一点，结果打完了发现建模错了，或许根本不能网络流。
只剩半小时了，赶快去写指数级别的暴力，写完后还剩十多分钟了。

后面就是放到虚拟机上过编译了一下。

其实我知道 T3 的正解和 $A$ 性质仅差一步之遥，但就亏在 T4 把时间浪费在错解上了，或许也是前面的题花的时间过多了。

而且 T3 的表的规律或许只是运气好，其他人都是考虑放到二维平面上考虑然后得到相同的结论。

赛后

T3 就是在 A 性质上扩展一下，还是 DP 考虑最终序列。

考虑除了第一段的每一段的结尾，它不能是一个隐藏的数，否则这一位填 0 以后和它不能区分，而每一段的除了结尾的位置则可以是隐藏的数。

再考虑每一段最大值的限制，它和第一段有关，如果第一段的结尾是一个隐藏的数，那么如果后面没有出现过最大值，那么无法与第一段的结尾为其它数的序列区分。也就是如果第一段的结尾为隐藏的数，那么后面一定要出现最大值。

那么就设 $f_{i,j,0/1}$ 表示第 $i$ 位填了 $j$，有没有出现过最大值。
当 $j$ 等于 0 时，那么上一个数为一段的结尾，就要求上一个数不能隐藏。

总结

• 写完代码要注意优化常数，看清数据范围。
• 最小生成树可以使用 $Prim$ 或 $Kruskal$。稠密图 $Prim$ 优为 $O(n^2)$，稀疏图 $Kruskal$ 优为 $O(m\log m+\alpha (n))$。
  $Prim$ 可以用优先队列做到 $O(m\log m)$。
• 打表找规律，但不要找无意义的规律，不要在这方面浪费太多时间。
• 尝试画图，把数值放到二维平面上或许能很快得到结论。
• 求经过若干操作得到最终序列有多少个，一般问什么就从什么方向考虑，即直接求最终序列满足的条件，用 DP 等构造最终序列。
• 写网络流一定要建模正确，不然假了写这么长的网络流就太浪费时间了。

day #0

最后一天！计划是刷一些题练一下手感，然后复习一些算法，看一下写过的总结。

arc176_c Max Permutation

题目大意：求有多少个排列，满足 $m$ 个限制形如 $max(P_{a_i},P_{b_i})=c_i$。

这一题的 $max(P_a,P_b)=c$ 其实就是要求 $a,b$ 其中一个等于 $c$，另一个小于 $c$。

我们把它当做一条边 $(a,b,c)$。
有一些确定点权的方法：

• 如果有多个边权相同的边，首先它们必须有一个公共点，不然无解。然后这个公共点一定取这个边权。
• 如果我们已经确定 $(u,v,w)$ 中 $u$ 的点权 $va{l}_u$ 且 $va{l}_u\ne w$，则 $va{l}_v=w$。
• 考虑如果一个点 $u$ 有多条边，那么这个点的值要小于等于所有边权的最小值 $M$。
  那么对于其它边权大于 $M$ 的边 $(u,v,w)$，$va{l}_u$ 就不能等于 $w$ 了，则 $va{l}_v$ 的值就确定为 $w$ 了。

我们可以跑 dfs 完成上述过程。

之后剩下的边没有公共点，只有两种情况：

• 有一个点已确定。
• 两个点都没确定。

对于第二种情况可以钦定其中一个点等于边权，答案数乘 2，就转化成了第一种情况。

那么现在的问题就是每个点 $x$，要小于一个权值 $v_x$。

枚举权值 $i$，设 $v_x=i$ 的点有 $cnt$ 个，小于 $i$ 的位置中还空了 $s$ 个，则答案乘上 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{cnt})$，预处理阶乘即可。

最后有一些没有边的点，记它为 $c$ 个，答案还要乘上 $c!$。

时间复杂度 $O(n\log V+m\log m)$，去掉排序和用线性逆元可做到 $O(n+m)$。

abc181_f Silver Woods

考虑到答案具有单调性，于是二分答案。

考虑一个半径为 $r$ 的圆能从 $(x_A,y_A),(x_B,y_B)$ 之间经过，要满足 $2r\le \sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}$。

那么我们就想如果不满足，就说明半径为 $r$ 的圆心不能跨过线段 $AB$。

我们把不能跨过的点连起来，同时连上上边界和下边界。
此时 $r$ 可行当且仅当上边界和下边界不连通，可以用并查集处理连通块。

时间复杂度 $O(n^2\alpha (n)\log V)$。

注意事项

策略方面：

• 不要死磕，扔掉了就不要有后顾之忧。
• 如果没有什么好入手的题目，那么先打暴力。
• 打表找规律，但不要找无意义的规律，不要在这方面浪费太多时间。
• 题目难度不一定顺序，不要花太多时间在看起来很简单的题上，思考大于 30min 你就要考虑扔掉它了。
• 要有耐心，不要因为前面的题不会，后面就不去想了。
• 麻烦你想清楚再写，不要写假做法。

技术方面：

• 写完代码要注意优化常数，看清数据范围。
• 一定要写对拍、造大数据、在虚拟机上过编译。
• 使用 powl 时，记得用 ruondl，记得用 long double。

算法方面：

（一些最近写的算法）

• Floyd 插入单个点技巧、线性基结论、轻链挂重链维护信息。
• 记忆化递归、字符串哈希、子问题分治。
• 质因数分解、扫描线、最小生成树、带权重心。
• SG 函数、打表找规律。
• 线段树优化 MST、最短路。
• 容斥、随机化、调整法、多项式、高斯消元。
• DP 求方案数。

（思考方向）

• 神奇的题要想想神奇的算法，比如哈希之类的。
• 统计 $x$ 有多少个 $y$ 时，可以考虑对于每个 $y$ 思考它能贡献到哪些 $x$。
• 用启发式合并合并 set，vector 等。
• 树上问题多考虑考虑重心或直径。
• 背包的转移可以尝试刻画成多项式的形式。
• 期望问题可以高斯消元，高斯消元可以尝试优化点数，可以用 DP 先处理出特殊点之间的关系以尝试优化点数。
• 写网络流一定要建模正确，不然假了写这么长的网络流就太浪费时间了。
• 计数问题，先从限制紧的条件入手。
• 可以考虑建图。也可以考虑从数值角度分析。尝试画图，把数值放到二维平面上或许能很快得到结论。

代码方面：

• 注意要开 -std=c++14 -Wall -Wextra。
• 注意不能以 j0,j1,jn,y0,y1,yn 为变量名，其在 <cmath> 中有定义。
• 注意不要使用 prev,next,begin,end 等指针操作函数作为变量名。
• 注意快读要判符号。
• 注意要开 long long，要及时取模。
• 注意不要把 l,mid 写成 1,mid。
• 注意变量名不要重复。
• 注意变量名不要记错、写错。
• 注意变量要赋初值。
• 注意数组不要越界，数组不要开小，字符串结尾有 \0。
• 注意不要空间超限。

STL 方法等：

vector.resize(size);
vector.back();
vector.front();
bitset.count();
bitset.set(); //set to true
bitset.reset(); //set to false
bitset._Find_first();
bitset._Find_next(pos);
chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count();
chrono::steady_clock::now();
chrono::duration<double>;

编译选项：

-fsanitize=address -fsanitize=undefined -Wall -Wextra -std=c++14 -g
-Wl,--stack=128000000
ulimit -s 1024000

The End：

• 不要贬低自己，不要考虑他人。
• 以平常心对待。

NOIP RP++！！！

day #1 NOIP2024

赛前

由于是在本校考，早上七点半才到教室，教练还贴心地给我们带了早餐。

赛前写了一下快读快写模版，没有复习别的东西，然后带了一瓶东方树叶就进考场了。

赛时

8:15 进考场，进考场感觉有点小慌，这怎么和前几天模拟赛的电脑配置不一样，显示器小小一个，然后发现键盘也是旧键盘，我已经开始担心键盘打不动了。

8:27 开始，还是照惯例密码没发下来，于是开始打头文件和快读快写，配置了一下 IDE 和编译选项，建了文件夹，我用的是 dev-cpp，由于编译器是重新配置过的 winlibs GCC 13.2.0，所以还挺好用的。
不出我所料，发现了键盘的 ctrl 非常硬。

8:34 开始看 T1 和 T2，决定先开 T1。发现 T1 竟然不是水题，很快就感受到了一种贪心策略，觉得没有什么问题。
就是先把所有固定的和不固定的匹配，然后再贪心地匹配上下都不固定的，能选就选，因为失配的贡献和匹配的贡献都是 1，所以是对的。
大样例调了一个小错误：要到一个位置再开始删它。
然后造了一个大数据，也没有验证答案，没有 RE 就自信觉得过了。
大概在 9:00 把 T1 扔掉了。

然后开始看 T2，我开始考虑一段的方案数，发现不好统计，想到正难则反，考虑用总数减去不合法的方案数，就是一段全部连起来，然后最后不相等，大概就是

$$V^{len}\times (V-1)$$

然后再考虑前后的方案数，发现可以随便取，这是因为 $V\ge 2$，所以必定有一种方案可以避免受到限制。

我觉得第二题甚至比第一题简单，大概在 9:30 过了 T2。

这时比赛还剩三个半小时，我想这次的比赛应该很简单了吧？想着后两题还能再拿 100 pts。

这时看 T3 和 T4，决定先想 T4。首先把大于等于理解为等于，然后看 $O(nQ)$ 的档，枚举长为 $k$ 的区间。
首先想到一段区间的 LCA 怎么求，不就是每次加一个点求 LCA 吗，这个东西可以在线段树上合并 LCA，但是这样是 $O({\log }^{2}n)$ 的。
想到优化求 LCA，先预处理所有点对的 LCA 又不太好做，最后终于想到在欧拉序上 $O(1)$ 求 LCA，发现线段树也可以扔掉了，可以区间 $O(1)$ 最值求最小最大欧拉序。现在这一部分是严格 $O(nQ)$，加上性质有 32pts。

我想去想链的性质，然而不会维护区间内最长连续段，无果。
最终在挣扎了浪费了一段时间后，觉得这题做不出来了。

转而去做 T3，开始我错误地认为枚举顺序对应一种生成树，把 $O(nK)$ DP 写完后才发现错了，原来是忘记了同构的树。

然后改了一下转移，转移还更简单了。

$$f_i=son!\times \prod f_j$$

我以为就这样而已，结果发现第二个样例过不了，发现初始边不同时树也有可能同构。

我就开始苦思冥想，想到不枚举关键边了，考虑怎样的树能满足。
发现对于一个点连向的所有边，对于这些边连起来的链，只有链首尾两条边对应的子树内能放关键点。

想到了一个 $O(n^2\log n)\sim O(n^3)$ 的暴力，就是考虑取出一条首尾为叶子，路径上包含关键点的路径，然后挂在路径上的贡献也可以 DP 求，链本身可以倍增或枚举链上的点。

然而此时已经 12:00 了，我意识到不能再想了，今天后两题肯定没希望了。首先觉得 T4 暴力更好打，果断先打 T4 的暴力，最终在 12:30 获得了 T4 的 32pts。

还能冲 T3！发现做法细节太多了，终于在最后 10min 我放弃了，交了 $K=1$ 的暴力，获得 24pts。

然后就是检查，也没时间去虚拟机上测了，就在 windows 上测吧。

最终估分 $100+100+24+32=256$。

赛后

出考场发现大家也不会后两题，但部分分比我高一点，f**j 是 $288$，大家快膜拜他。

而且发现 T3 其实有一个链的性质我没写，能白拿 4pts 的。

又要回去学文化课了。

总结

• 我已经尽力了，就是可能没有把所有时间用来冲更高的暴力分，而是花了很多时间去想正解。
• 这次比赛中，转题策略比较果断，很好地避免了基本能拿的暴力分没拿到而爆 0 的情况。
• 也有不足之处，检查不够充分，还不确定是否会挂分，不过大概率是不会了。后面也没有预留时间去虚拟机上测了，今天也没有去对拍。
• 可惜就是尽管前两题切得很快，但后面的暴力分还是不够高，或许还是因为经过了一些无意义的思考，浪费了一些时间。

The End

祝大家不要挂分，祝我自己不要挂分。

Finished on 2024-11-30。

Update on 2024-12-06，出分了，跟估的一样。