[复习] 种类并查集 & 2-XOR-SAT

[复习] 种类并查集

种类并查集也可叫做扩展域并查集。

前言

自从两年多前刚学并查集时过了食物链后，就再也没有写过种类并查集。
今天回顾一下。

例题 1 食物链

P2024 [NOI2001] 食物链。

题目大意：有 $n$ 个动物，每个动物属于 $A,B,C$ 种中的一种，$A$ 吃 $B$，$B$ 吃 $C$，$C$ 吃 $A$。每次给出 $x,y$ 同类或 $x$ 吃 $y$ 的信息，看是否合法。

首先 $x,y$ 同类可以想到用并查集维护。那么 $x$ 吃 $y$ 怎么维护呢。

当 $x$ 吃 $y$ 时，我们不能将 $x,y$ 放到一个并查集里表示它们不同。否则如果 $a\to b,b\to c,c\to d$，那此时 $a,d$ 其实是同类的。

考虑一个动物，我们并不需实际区分它是哪个类别，只需考虑它和其他动物的关系即可。

于是考虑并查集取出 $3n$ 个点，$1\sim n$ 为第一类，$n+1\sim 2n$ 为第二类，$2n+1\sim 3n$ 为第三类。

我们这样表示它们的关系：

对于同一类中的点 $(x,y)$，如果它们在同一个集合中，则 $(x,y)$ 同类。
对于不在同一类中的点 $(x+kn,y+k^{\prime }n)$，如果它们在同一个集合中，则 $(x,y)$ 不同类。
第一类吃第二类，第二类吃第三类，第三类吃第一类。

于是缩点就变成了：

• 如果 $x,y$ 同类，那么 $(x,y),(x+n,y+n),(x+2n,y+2n)$ 缩点。
• 如果 $x\to y$，那么 $(x,y+n),(x+n,y+2n),(x+2n,y)$ 缩点。

2-XOR-SAT

SAT 问题，是一个 NP 完全问题，求 $n$ 个布尔变量，有若干条限制，每条限制形如给定若干布尔变量分别为 $0/1$，要至少有一个布尔变量满足。

• 2-SAT 问题，每条限制由两个变量组成，可以用 SCC 缩点在 $O(n+m)$ 解决。
• XOR-SAT 问题，将 SAT 问题的限制改为用异或连接，每条限制要使最终异或值为 $0/1$，可以用高斯消元在 $O(n^3)$ 解决。
• 2-XOR-SAT 问题，每条限制给定两个变量和它们的异或值，要求构造方案或判断无解。

2-XOR-SAT 问题可用本篇的种类并查集做。

还是 $1\sim n$ 表示第一类，$n+1\sim 2n$ 表示第二类，同类点缩在一起表示它们相等，不同类点缩在一起表示它们不等。

我们知道，异或值指示了两个布尔数是否相同。

于是显然有这样的缩点策略：

• 如果 $a_x\oplus a_y=1$，那么缩点 $(x,y+n),(x+n,y)$ 表示 $(x,y)$ 不等。
• 如果 $a_x\oplus a_y=0$，那么缩点 $(x,y),(x+n,y+n)$ 表示 $(x,y)$ 相等。

例题 2 arc183_c

arc183_c。

题目大意：
有 $n$ 个人，每个人是诚实或撒谎，清醒或糊涂。其中：
清醒的诚实人说真话。
清醒的撒谎人说假话。
糊涂的诚实人说假话。
糊涂的撒谎人说真话。
给定 $m$ 个条件，形如 $a,b\in [1,n],c=0/1$，表示 $a$ 号人说 $b$ 号人是诚实或撒谎。

我们可以设布尔变量 $p_i$ 为 $0/1$ 表示 $i$ 是诚实或是撒谎，$q_i$ 为 $0/1$ 表示 $i$ 是清醒或是糊涂。

那么条件 $(a,b,c)$ 就相当于要满足 $p_a\oplus q_a\oplus p_b=c$。

这是三元的，并不好，我们可以考虑设 $r_i=p_i\oplus q_i$，那么条件就变成了 $r_a\oplus p_b=c$，我们可以求 $r_i,p_i$，然后用 $q_i=r_i\oplus p_i$ 算出 $q_i$。

关于方案，如果最后合法了，那么对于缩在一起的点（包括不同类点），我们指定一个点随便取一个值后，就能全部确定这些点。

AC 代码：

const int N=2e5+5;
int n,m;
int fa[N*4];
int getfa(int x){
	if(fa[x]==x)return x;
	return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
void merge(int x,int y){
	if(getfa(x)!=getfa(y))
	fa[getfa(x)]=getfa(y);
}
int nx(int x){
	if(x<=2*n)return x+2*n;
	return x-2*n;
}
int r(int x){
	return x;
}
int p(int x){
	return x+n;
}
void no(){
	write("-1");
	exit(0);
}
vector<int> t[N*4];
int ans[N*4],vis[N*4];
signed main(){
	read(n,m);
	fo(i,1,n*4)fa[i]=i;
	fo(i,1,m){
		int a,b,c;
		read(a,b,c);
		if(c){
			if(getfa(r(a))==getfa(p(b))){
				no();
			}
			merge(r(a),nx(p(b)));
			merge(nx(r(a)),p(b));
		}
		else{
			if(getfa(r(a))==getfa(nx(p(b)))){
				no();
			}
			merge(r(a),p(b));
			merge(nx(r(a)),nx(p(b)));
		}
	}
	fo(i,1,n*2)if(getfa(i)==getfa(nx(i)))no();
	fo(i,1,n*4)t[getfa(i)].push_back(i);
	fo(i,1,n*4){
		for(auto j:t[i]){
			if(j<=2*n&&!vis[j]){
				vis[j]=1;
				ans[j]=0;
			}
			else if(j>2*n&&!vis[j-2*n]){
				vis[j-2*n]=1;
				ans[j-2*n]=1;
			}
		}
	}
	fo(i,1,n)write(ans[i]^ans[i+n]);
	return 0;
}