树的重心

树的重心

本文介绍了树的重心及其性质、如何动态维护修改权值的带权重心、如何寻找断边再加边的带权重心。

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无根树的重心定义为：

令 $x$ 为树根，有 $y$ 与 $x$ 相邻，使得 $y$ 的子树大小的最大值最小，这样的 $x$ 即树的重心。

重心有 1 个 或 2 个，若有 2 个则这 2 个重心相邻。

性质

以重心为根，任意一个它的儿子的子树大小不超过 $n/2$。

树中所有点到一个点的距离和中，到重心的最小。

根据性质，我们可以得出：

如果有一条边 $(x,y)$，将这条边割开，若 $x$ 的子树大小大于 $y$ 的子树大小，则重心在子树 $x$ 中，反之在 $y$ 中，若相等，则 $x,y$ 恰好是两个重心。

同时，若在树上添加一个叶子，则重心最多移动一条边。

求法

扫一遍树求子树大小，根据定义即可求。

假定一个根 $rt$，则一个点的值即 $max(s{z}_{so{n}_x},s{z}_{rt}-s{z}_x)$，这个值最小点就是重心。

应用

点分治：

由于重心的子树大小不超过一半，则可以把树按重心分开，再把分开的每个连通子树递归处理，最多分 $O(\log n)$ 层。

则所有重心的子树大小和是 $O(\log n)$ 的，我们在这些重心上可以方便地计算路径等信息。

带权重心

每个点有权值，将上面定义中的子树大小换为权值和即为带权重心的定义。

依旧有性质：

如果有一条边 $(x,y)$，将这条边割开，若 $x$ 的子树大小大于 $y$ 的子树大小，则重心在子树 $x$ 中，反之在 $y$ 中。

若相等则需依照 $x,y$ 的权值判断重心，相等则都为重心，否则谁大谁为重心。

可看出：若点权都不相等，则重心唯一。

根据性质动态维护区间修改权值的带权重心 $O(d{\log }^{2}n)$

我们上面的性质结合点分治的思想：

先求出点分治的那些重心，从整颗树的重心开始，考虑移动。

若有子树满足性质，显然最多一个子树满足性质，则移动到连通子树的重心（无权重心）。

若没有，则当前点就是带权重心。

如果可以 $O(\log n)$ 查询子树权值和，则可以 $O(d{\log }^{2}n)$ 得到重心，其中 $d$ 为点的度数。

参考例题：ZJOI2015 幻想乡战略游戏

这道题找到重心后用动态点分治即可计算答案。

带权重心的神奇性质

与距离结合

从树上的任意一点作为起点，到树上所有点的距离乘上的终点点权，使它和最小的起点一定是树的带权重心。

值得一提的是如果乘的是 $dis{t}^k$ 依然成立。

证明

当前在重心 $x$ 上，则若有一条边 $(x,y)$，设 $x$ 侧权值和为 $s_x$，$y$ 侧为 $s_y$。

考虑转移到 $y$，则多的贡献为 $s_x-s_y$，由于重心，$s_x\ge s_y$，因此 $y$ 不优。

对于 $dis{t}^k$ 的情况可感性理解。

与 dfs 序上的带权中点结合

给定根，这里的重心是深度最小的重心。

首先建 dfs 序。

则将节点按 dfs 排列，这上面的带权中点在重心的子树内。

带权中点：将序列上权值求前缀和，第一个大于总权值和一半的点。

证明

深度最小的重心 $G$ 的子树和 $s{z}_G$ 大于 $sum/2$。

考虑 dfs 序 $dfn$ 在 $G$ 之前的点的权值和，一定小于 $sum/2$。

同时考虑 $dfn$ 在 $G$ 之后且不在 $G$ 子树内的点的权值和，也一定小于 $sum/2$。

带权中点不在前也不在后，而在中间的子树内。

用带权中点 $O({\log }^{2}n)$ 动态维护区间修改权值的带权重心

同样的，这里的重心是深度最小的重心。

我们的区间修改权值显然是需要树剖的，我们的 $dfn$ 要在树剖上建。

根据性质，找到带权中点，可以在线段树上二分，$O(\log n)$。

找到带权中点后，考虑倍增跳它的父亲。

由于此时我们所求的重心是子树大小 $sz>sum/2$ 中深度最大的点，

于是考虑像倍增 LCA 那样，找到最远的在重心下面的点，重心就是它的父亲。

对于一个点 $x$ 若 $s{z}_x\le sum/2$，则它在我们的重心下面，于是往上跳。

最后取 $f{a}_{x,0}$ 即可。

注意特判一下如果最开始的点 $sz>sum/2$，则它就是重心。

我们每次 $O(\log n)$ 求子树大小，跳 $O(\log n)$ 次，于是就是 $O({\log }^{2}n)$。

例题：JZOJ 7469 数据结构

断边再加边的带权重心

如果我们断掉一条边 $(p,q)$，再加上一条边 $(u,v)$，考虑带权重心怎么变化。

首先新的图还是树的条件是：
假定 $f{a}_p=q$，同时记 $l_u=lca(p,u),l_v=lca(p,v)$，形成的新图为树的充要条件为 $[p=l_u]\oplus [p=l_v]=1$。

然后考虑带权重心怎么变化，我们已经求出了改变前的带权重心 $Rt$，我们以它为根给树确定方向。

假定 $lca(u,p)=p$，那么如果 $lca(v,p)=Rt$，则新的带权重心在 $(v,Rt)$ 这条路径上。
我们倍增从 $v$ 开始跳，设 $s_x$ 为 $x$ 的子树权值和，如果 $s[f{a}_{x,j}]+s[p]\le sum/2$ 则说明重心还在 $f{a}_{x,j}$ 往上。
最后跳到 $f{a}_{x,0}$。注意如果 $s_v+s_p>sum/2$ 则说明 $v$ 已经是重心了。

而如果 $lca(v,p)\ne Rt$，则相当于边的修改是在同一个子树内完成的，它并不影响整个树的重心，因此重心还是 Rt。

例题：信友队 NOIP2024 模拟 2024.11.25 场。