博弈论：公平组合游戏（Nim 游戏 & SG 定理）学习笔记

博弈论：公平组合游戏（Nim 游戏 & SG 定理）学习笔记

公平组合游戏

定义：

1. 两人轮流以最优方式操作，两人的操作方式相同。
2. 每次操作游戏状态必须改变，不能操作者输，另一人赢。
3. 每个游戏状态不能重复到达。

我们把每个状态看作一个点，每个状态的点向它后继状态的点连有向边，可以生成一张 DAG（有向无环图）。

所以公平组合游戏也叫做有向图游戏。

必胜状态 & 必负状态

定义：

1. 没有后继状态的状态为必负状态。
2. 至少有一个后继状态为必负状态的状态为必胜状态。
3. 所有后继状态都为必胜状态的状态为必负状态。
4. 所有状态为必胜状态或必负状态。

记 $n,m$ 为游戏生成的有向图的点数和边数。
则我们可以根据必胜状态和必负状态在 $O(n+m)$ 的时间用记忆化搜索解决游戏的胜负。

Nim 游戏

有 $n$ 堆石子，每堆石子有 $a_i$ 个，两个人轮流取正整数个石子，不能取者输。

Nim 和

设一个状态 Nim 和为 $S=a_1\oplus a_2\oplus \cdots \oplus a_n$。

性质：Nim 和为 0 的状态为必负状态，Nim 和不为 0 的状态为必胜状态。

证明

根据必胜状态和必负状态的定义，我们只需证明：

1. 没有后继状态的状态，满足 $S=0$。
2. 对于 $S\ne 0$ 的状态，至少有一种操作使得后继状态 $S=0$。
3. 对于 $S=0$ 的状态，没有一种操作使得后继状态 $S\ne 0$。

证明如下：

1. 没有后继状态的状态，$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$，则 $S=0$。
2. 对于 $S\ne 0$ 的状态，考虑操作 $a_i$ 变为 $a_i^{\prime }$ 可以满足条件。则 $S\oplus a_i\oplus a_i^{\prime }=0$，即 $a_i^{\prime }=a_i\oplus S$。
   由于 $S\ne 0$，因此考虑 $S$ 的最高位的一位 1，根据异或的定义，有奇数个 $a$ 这一位为 1，对于这一位为 1 的 $a_j$，一定有 $a_j\oplus S<a_j$，则操作 $j$ 可以使 $S^{\prime }$ 为 0。
3. 对于 $S=0$ 的状态，根据异或的定义，其中一个 $a$ 改变则 $S$ 也会改变。

SG 函数

定义：

1. 对于没有后继状态的状态 $x$，$SG(x)=0$。
2. 对于状态 $x$ 和它的所有后继状态 $y$，$SG(x)=mex(\{SG(y)\})$。

其中 $mex(S)$ 表示集合 $S$ 中最小没出现过的非负整数。

性质：$SG(x)=0$ 时，$x$ 为必败状态；$SG(x)\ne 0$ 时 $x$ 为必胜状态。

证明

根据必胜状态和必败状态的定义，我们只需证明：

1. 没有后继状态的状态满足 $SG=0$。
2. 对于后继状态存在 $SG=0$ 的状态，它的 $SG\ne 0$。
3. 对于后继状态没有 $SG=0$ 的状态，它的 $SG=0$。

根据 $SG$ 的定义，这三点都是显然的。

SG 定理

对于由 $n$ 个有向图游戏组成的游戏，这个游戏每次操作可以选择一张图操作一次。

若当前每张图的状态为 $s_i$，当且仅当 $SG(s_1)\oplus SG(s_2)\oplus \cdots SG(s_n)\ne 0$ 时，先手必胜。

证明

我们可以把第 $i$ 堆石子有 $SG(s_i)$ 个，由于 $SG(x)=mex(\{SG(y)\})$，则 $SG(s_i)=x$ 可以转移到所有的 $SG(s_i^{\prime })=y,0\le y<x$，这符合 Nim 游戏的要求，于是可以用 Nim 和来解释。