阶与原根 学习笔记

阶与原根

前言

既然都学 OI 了，还要证明干嘛。

阶

定义：满足 \(a^n\equiv 1\pmod p\) 的最小的正整数 \(n\) 称作 \(a\) 在模 \(p\) 意义下的阶，记作 \(ord_p(a)\)。

性质1：对于 \(1\le i\le ord_p(a)\)，\(a^i\) 不同余。

性质2：对于 \(a^n \equiv1\pmod p\)，\(ord_p(a)\mid n\)。

性质3：如果 \(a^n\equiv a^m\pmod p\)，则 \(n\equiv m\pmod {ord_p(a)}\)。

性质4：若 \(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1\)，则当且仅当 \(\gcd(ord_m(a),ord_m(b))=1\) 时，\(ord_m(a\times b)=ord_m(a)\times ord_m(b)\)。

性质5：若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(ord_m(a^k)=\dfrac{ord_m(a)}{\gcd(ord_m(a),k)}\)。

性质6：对于质数 \(p\)，\(ord_p(x)=\dfrac{\varphi(p)}{\gcd(\varphi(p),x)}\)。

原根

定义：对于 \(1\le g<m\)，若 \(\gcd(g,m)=1\) 且 \(ord_m(g)=\varphi(m)\)，则 \(g\) 是 \(m\) 的原根。原根可能有多个。

性质：当 \(m\) 为质数时，\(g^i\bmod m(0<i<m)\) 互不相同。

原根个数：若 \(m\) 有原根，\(m\) 的原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)。

原根存在：原根存在，当且仅当 \(m=2,4,p^k,2p^k\)，其中 \(p\) 为奇质数。

原根判定：对于 \(\gcd(g,m)=1\)，若 \(g\) 是 \(m\) 的原根，当且仅当对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因子 \(p\)，都有 \(g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1\pmod m\)。

原根范围：素数的最小原根为 \(O(m^{0.25})\)。

求最小原根：由于最小原根的范围，我们可以从小到大枚举每个数暴力地判断是否为原根，复杂度 \(O(\sqrt m)\)。

应用

可以把乘法通过原根转化为指数上的加法。

习题

• P6091 [模板] 原根
• AT abc212_g

P6091 [模板] 原根

题意：求一个数的所有原根。

题解：

我们找到一个原根 \(g\)，那么对于所有 \(\gcd(x,\varphi(m))=1\) 的 \(x\)，\(g^x\bmod m\) 是原根。

AT abc212_g

求有多少整数对 \((x,y)\) 满足存在一个正整数 \(n\) 使得 \(x^n\equiv y\pmod P\)，给定质数 \(P\)，\(P\le10^{12}\)。

题解：

根据质数的原根的性质，我们找到 \(P\) 的原根 \(g\)，则 \(x,y\) 可以表示成 \(g^a,g^b\)，那么

\[\sum_{a=1}^{P-1}\sum_{b=1}^{P-1}[\exist n,g^{an}\equiv g^b\pmod P] \]

根据欧拉定理，

\[\sum_{a=1}^{P-1}\sum_{b=1}^{P-1}[\exist n,an\equiv b\pmod {P-1}] \]

那么根据同余方程的性质，

\[\sum_{a=1}^{P-1}\sum_{b=1}^{P-1}[\gcd(a,P-1)\mid b] \]

枚举 \(\gcd\) 的值，

\[\sum_{d=1}^{P-1}\Big\lfloor\dfrac {P-1} d\Big\rfloor\sum_{d|a}^{P-1}[\gcd(a,P-1)=d] \]

右边的和式当且仅当 \(d\mid (P-1)\) 时不为 \(0\)。

\[\sum_{d=1}^{P-1}\Big\lfloor\dfrac {P-1} d\Big\rfloor [d\mid (P-1)]\sum_{a=1}^{(P-1)/d}[\gcd(a,\dfrac {P-1} d)=1] \]

右边是 \(\varphi\) 的定义，

\[\sum_{d=1}^{P-1}\Big\lfloor\dfrac {P-1} d\Big\rfloor [d\mid(P-1)]\varphi(\dfrac {P-1} d) \]

\(d\) 为 \(P-1\) 的因数时有值，

\[\sum_{d\mid {P-1}}^{P-1}\dfrac {P-1} d \varphi(\dfrac {P-1} d) \]

因数取遍，则

\[\sum_{d\mid P-1} d\times\varphi(d) \]

直接算为 \(O(d(P-1)\sqrt{P-1})\)。