[复习] AC自动机

[复习] AC自动机

自动机

从一个状态通过接收一个信号转移到另一个状态。
其实就是从一个点走一种颜色的边到达另一个点，你会有一个初始点，然后每次走当前要走的颜色的边，会走到一个目标点，目标点保存着需要的答案。

AC自动机

以 $Trie$ 为基础，$kmp$ 的前缀函数思想构建的自动机。

用于解决多模式串匹配等任务。

例题：
给你一个文本串 $S$，和 $n$ 个模式串 $T_i$，求每个模式串在文本串中出现了几次。
$|S|\le 2\ast {10}^5,n\le 2\ast {10}^5,\sum T_i\le 2\ast {10}^5$。

我们不能做 $n$ 次 $kmp$，所以把它“合成一次做”。

考虑把每个模式串插入 $Tire$ 上。

每个节点是一个前缀，对于每个节点 $S$ 维护这个 $Trie$ 上最长的 $S$ 的真后缀，即 $border$，在这里我们称为失配指针 $fail$。

计 $tr[u][i]$ 表示 $Trie$ 树的树边，$fail[u]$ 为失配指针。

• 对于 $u$ 没有的边 $i$，我们给它重新连向 $tr[fail[u]][i]$。

• 而如果有这条出边，那么得到 $tr[u][i]$ 的 $fail$ 为 $tr[fail[u]][i]$。

我们在 $trie$ 上 $bfs$ 从而得到这两个数组，当原本就有 $tr[u][i]$ 时，将 $trie[u][i]$ 加入队列。

for(int i=0;i<26;i++){
    if(trans[0][i])q.push(trans[0][i]);
}
while(!q.empty()){
    int u=q.front();q.pop();
    for(int i=0;i<26;i++){
        if(trans[u][i]){
            fail[trans[u][i]]=trans[fail[u]][i];
            q.push(trans[u][i]);
        }
        else trans[u][i]=trans[fail[u]][i];
    }
}

这里有个细节就是，第一个字符的 $fail$ 一定为 $0$，所以要先遍历根的儿子（就像前缀函数要从 $2$ 开始跑一样）。

我们把 $Trie$ 上没有的边都加上了，那现在 $tr$ 数组就是一个转移函数，我们遍历文本串，每新加一个字符就走一条边，如此一来到达的节点就是当前文本串的前缀最长的在 $Trie$ 上的后缀。

我们从一个点一直跳 $fail$，如果跳到了一个模式串的末尾，那么说明这个模式串是当前文本串前缀的后缀，即是文本串的子串。

我们不用每次跳 $fail$，这样时间复杂度是不正确的。

注意到 $fail$ 是一棵树，我们可以每次在当前点打上标记，到最后再遍历树统计。