[复习] 组合数学基础
[复习] 组合数学基础
加法原理：各方案数无关，方案数相加。
乘法原理：各方案数相关，方案数相乘。
全排列：\(n\) 个不同的数排成一列的方案数
\[n!
\]
排列数：\(n\) 个不同的数选择其中 \(m\) 个排成一列的方案数
\[A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m!)}
\]
组合数：\(n\) 个不同的数选择 \(m\) 个数的方案数
\[\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}
\]
组合数基础性质
\[\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m}
\]
\[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}
\]
\[\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}=2^n
\]
插板法
\(n\) 个相同的数分成非空 \(m\) 组的方案数，可以在 \(n-1\) 个间隔里插入 \(m-1\) 个板。
\[\binom {n-1}{m-1}
\]
如果允许有空的组，则先放入 \(m\) 个元素，此时分成非空的组，然后把放入的 \(m\) 个元素拿回。
\[\binom{n+m-1}{m-1}=\binom{n+m-1}{n}
\]
如果要求第 \(i\) 个组至少有 \(a_i\) 个元素，那么先删掉 \(\sum_{i=1}^m (a_i-1)\) 个元素，又转化为第一类，设 \(S=\sum_{i=1}^m a_i\)。
\[\binom{n-S+m-1}{m-1}=\binom{n-S+m-1}{n-S}
\]
二项式定理
\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom nia^{n-i}b^i
\]
取 \(a=1,b=-1\) 得到一个二项式推论
\[\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni=[n=0]
\]
容斥原理
\[\left|\bigcup_{i\in A}S_i\right|=\sum_{B\subseteq A}(-1)^{\mid B\mid-1}\left|\bigcap_{j\in B}S_j\right|
\]
子集反演
\[f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(T)\Leftrightarrow g(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T)\\
\]
二项式反演
\[f(n)=\sum_{i=0}^n\binom nig(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n\binom ni (-1)^{n-i} f(i)
\]
范德蒙德卷积
给出一种拆分或合并组合数的式子。
\[\sum_{i=0}^k\binom ni\binom m{k-i}=\binom{n+m}{k}
\]
第二类斯特林数
\(S(n,k)\) 表示将 \(n\) 个有标号元素，分成 \(k\) 个无标号子集的方案数。
递推式
\[S(n,k)=S(n-1,k-1)+k(n-1,k)
\]
\[S(n,0)=[n=0]
\]
考虑新加入一个元素，可以单独放一个子集，有 \(S(n-1,k-1)\) 种。
考虑放入一个现有的子集，有 \(k\times S(n-1,k)\) 种。
贝尔数
把 \(n\) 个有标号数分成若干个无标号集合的方案数。
\(Bell(n)=\sum_{i=1}^n S(n,i)\)。
