[复习] border 与 单模式匹配 KMP 算法

[复习] KMP

前缀函数

设 \(S_i\) 为字符串 \(S\) 的第 \(i\) 个位置。

我们设 \(\pi(i)\) 表示字符串以 \(i\) 结尾的前缀的最长公共前后缀的长度，也记作 border。

这里的前后缀都指的是真前缀、真后缀。

怎么 \(O(n)\) 求出 \(\pi(i)\)。

性质：相邻的 \(\pi\) 至多增加 1。

因此， 若 \(s[\pi(i)+1]=s[i+1]\) 时，\(\pi(i+1)=\pi(i)+1\)。

如果失配，我们要找到 \(i\) 前缀的第二长的公共前后缀，然后再次比较。以此类推。

那么

\[[s_1s_2s_3s_4]...[s_{i-3}s_{i-2}s_{i-1}s_{i}]s_{i+1} \]

如果 \(\pi(i)=4\)，即 \(s[1...4]=s[i-3...i]\)。

而第二长的公共前后缀长度 \(j\)，假如 \(j=2\)，那么 \(s[1...2]=s[i-1...i]\)。

由于 \(s[1...4]=s[i-3...i]\)，那么 \(s[i-1...i]=s[3...4]\)，所以 \(s[1...2]=s[3...4]\)。

所以第二长的公共前后缀长度是前缀 \(\pi(i)\) 的最长公共前后缀长度，即 \(\pi(\pi(i))\)。

所以如果 \(\pi(i)+1\) 失配，那么就找到 \(\pi(\pi(i))+1\)，然后是 \(\pi(\pi(\pi(i)))+1\dots\)

到最后找到 \(1\)，若不相等则 \(\pi(i+1)=0\)。

核心代码：

nx[1]=0;
for(int i=2;i<=len;i++){
	int j=nx[i-1];
	while(j>0&&s[j+1]!=s[i])j=nx[j];
	if(s[i]==s[j+1])++j;
	nx[i]=j;
}

KMP 算法

对于文本串 \(s\) 和模式串 \(t\) 匹配，可以求出字符串 \(t+\#+s\) 的前缀函数，其中 \(\#\) 是一个额外字符，然后就能知道 \(s\) 每个前缀能否与 \(t\) 匹配。

fail 树

AC 自动机中的定义和这里类似。

我们把 \(\pi(i)\) 连向 \(i\)，这样就得到一棵以 \(0\) 为根的树，称作 \(fail\) 树。

性质：显然的，在 \(fail\) 树上，一个点 \(i\) 的所有祖先都是 \(i\) 的 \(border\)。
或者说，\(j\) 是 \(i\) 的 \(border\) 当且仅当 \(j\) 是 \(i\) 的祖先。

最长公共 border

对于两个前缀 \(i,j(i\ne j)\)，它们的最长公共 \(border\)，就是 \(i\) 和 \(j\) 在 \(fail\) 树上的 \(LCA\)。