[复习] border 与 单模式匹配 KMP 算法

[复习] KMP

前缀函数

设 $S_i$ 为字符串 $S$ 的第 $i$ 个位置。

我们设 $\pi (i)$ 表示字符串以 $i$ 结尾的前缀的最长公共前后缀的长度，也记作 border。

这里的前后缀都指的是真前缀、真后缀。

怎么 $O(n)$ 求出 $\pi (i)$。

性质：相邻的 $\pi$ 至多增加 1。

因此， 若 $s[\pi (i)+1]=s[i+1]$ 时，$\pi (i+1)=\pi (i)+1$。

如果失配，我们要找到 $i$ 前缀的第二长的公共前后缀，然后再次比较。以此类推。

那么

$$[s_1{s}_2{s}_3{s}_4]...[s_{i-3}{s}_{i-2}{s}_{i-1}{s}_i]s_{i+1}$$

如果 $\pi (i)=4$，即 $s[1...4]=s[i-3...i]$。

而第二长的公共前后缀长度 $j$，假如 $j=2$，那么 $s[1...2]=s[i-1...i]$。

由于 $s[1...4]=s[i-3...i]$，那么 $s[i-1...i]=s[3...4]$，所以 $s[1...2]=s[3...4]$。

所以第二长的公共前后缀长度是前缀 $\pi (i)$ 的最长公共前后缀长度，即 $\pi (\pi (i))$。

所以如果 $\pi (i)+1$ 失配，那么就找到 $\pi (\pi (i))+1$，然后是 $\pi (\pi (\pi (i)))+1\dots$

到最后找到 $1$，若不相等则 $\pi (i+1)=0$。

核心代码：

nx[1]=0;
for(int i=2;i<=len;i++){
	int j=nx[i-1];
	while(j>0&&s[j+1]!=s[i])j=nx[j];
	if(s[i]==s[j+1])++j;
	nx[i]=j;
}

KMP 算法

对于文本串 $s$ 和模式串 $t$ 匹配，可以求出字符串 $t+\mathrm{\#}+s$ 的前缀函数，其中 $\mathrm{\#}$ 是一个额外字符，然后就能知道 $s$ 每个前缀能否与 $t$ 匹配。

fail 树

AC 自动机中的定义和这里类似。

我们把 $\pi (i)$ 连向 $i$，这样就得到一棵以 $0$ 为根的树，称作 $fail$ 树。

性质：显然的，在 $fail$ 树上，一个点 $i$ 的所有祖先都是 $i$ 的 $border$。
或者说，$j$ 是 $i$ 的 $border$ 当且仅当 $j$ 是 $i$ 的祖先。

最长公共 border

对于两个前缀 $i,j(i\ne j)$，它们的最长公共 $border$，就是 $i$ 和 $j$ 在 $fail$ 树上的 $LCA$。