虚树学习笔记

虚树 Virtual Tree 学习笔记

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P2495 [SDOI2011] 消耗战

题目大意：给一棵 $n$ 个点的树， $m$ 次询问 $k$ 个点，要求切断一些边使点 1 不可达这些点，求最小切断的边权和。

$n \leq 2.5 * 10^{5}, m \leq 5 * 10^{5}, \sum k \leq 5 * 10^{5}$

先考虑一个朴素的 DP，每次询问扫一遍整个树。

设 $f_{i}$ 为使点 $i$ 的子树内的关键点不与 1 连通的最小花费，

$g_{i}$ 为 1 到 $i$ 路径上的边权的最小值。

若 $i$ 为查询的点， $f_{i} = g_{i}$ 。

否则 $f_{i} = min (g_{i}, \sum f_{s o n_{i}})$ 。

时间复杂度 $O (n Q)$ 。

发现 $\sum k$ 与 $n$ 同阶，所以一次查询里的关键点很少，很多点都是没有用的。

这时可以用虚树来优化。

什么是虚树？

虚树常见于树形 DP 中。

如果一次询问所包含的关键点很少（关键点可以理解为对答案有实际影响的点），即有很多点都是多余无用的。

如果每次我们还是暴力地扫一遍整棵树，那是 $O (n Q)$ 的。

我们考虑把关键点及其有关的点取出来，按照原树的祖先后代关系新建一棵树，这就是虚树。

如果所有询问的关键点总数与 $n$ 同阶，则最后复杂度就是 $O (n + Q)$ 了。

如何建一棵虚树？

前置知识

我们需要一个高效的 LCA 算法；

$O (\log n)$ 可以用常数更小的树剖代替倍增。

$O (n \log n)$ 预处理， $O (1)$ 查询的 RMQ 也可。

选点

显然我们需要的点是那些关键点和他们之间的 LCA。

根据前人的智慧加上我自己的感性理解，先把所有关键点按 dfs 序排好然后相邻两个求 LCA。

这些 LCA + 根节点 + 所有 $k$ 个关键点 = 我们所需的点。

所有点的个数就是 $O (k)$ 的。

连边

先把所有点按 dfs 序排序，然后去重。

我们用一个单调栈维护虚树上由根节点出发的一条链。

开始把根节点 1 入栈。

之后遍历排好序的点。

设当前点为 $x = d_{i}$ 与栈顶为点 $t o p$ 。

若 $L C A (x, t o p) = t o p$ ，则点 $x$ 仍在 $1 \to t o p \to x$ 这条链上，则连边 $(t o p, x)$ ，将 $x$ 直接入栈。

若 $y = L C A (x, t o p) \neq t o p$ ，则点 $x$ 不在 $1 \to t o p$ 这条链上了， $y$ 即为这条链与链 $1 \to x$ 的交叉点。

$y$ 显然也是我们选的点之一，此时一直退栈直到栈顶为 $y$ ，然后连边 $(y, x)$ ，将 $x$ 入栈。

回顾连边

当 $d_{i}$ 连完边后，事实上我们的栈顶一直都为 $d_{i}$ 。

而与 $d_{i}$ 连边的点为栈顶 $L C A (t o p, d_{i})$ ，即 $L C A (d_{i - 1}, d_{i})$ 。

也就是说在排完序后，只需连 $(L C A (d_{i - 1}, d_{i}), d_{i})$ 即可，看起来十分简洁，其中要连 $(1, d_{1})$ 。

也就是说我们实际并不需要一个栈来维护链。

总结

把关键点按 dfs 序排序。
关键点相邻两个求 LCA。
所有点（LCA + 关键点）按 dfs 序排序。
遍历数组，连 $(L C A (d_{i - 1}, d_{i}), d_{i})$ ， $(1, d_{1})$ 。

建完虚树后再在虚树上做开头的 DP 即可。

于是我们的第一道题就迎刃而解了！

代码如下：

 #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
const int N=2.5e5+5;
int to[N*2],nx[N*2],st[N],tot,co[N*2];
void add(int u,int v,int w){
	to[++tot]=v,nx[tot]=st[u],st[u]=tot,co[tot]=w;
}
vector<int> edge[N];
int top[N],fa[N],son[N],sz[N],d[2*N],dep[N];
#define ll long long 
ll f[N],g[N];
int lca(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]>dep[top[y]])x=fa[top[x]];
		else y=fa[top[y]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])return y;
	return x;
}
int dfn[N],dfn1;
void dfs(int x,int y){
	sz[x]=1,fa[x]=y,dep[x]=dep[y]+1;
	for(int i=st[x];i;i=nx[i]){
		int v=to[i];
		if(v!=y){
			g[v]=min(g[x],(ll)co[i]);
			dfs(v,x),sz[x]+=sz[v];
			if(sz[v]>sz[son[x]])son[x]=v;
		}
	}
}
void dfs2(int x){
	dfn[x]=++dfn1;
	if(son[fa[x]]==x)top[x]=top[fa[x]];
	else top[x]=x;
	if(son[x])dfs2(son[x]);
	for(int i=st[x];i;i=nx[i]){
		int v=to[i];
		if(v!=fa[x]&&v!=son[x])dfs2(v);
	}
}
int K;
int cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
}
int bz[N];
void solve(int x){
	ll sum=0;
	for(int v:edge[x]){
		solve(v);
		sum+=f[v];
	}
	edge[x].clear();
	if(bz[x])f[x]=g[x];
	else f[x]=min(g[x],sum);
	bz[x]=0;
}
int main(){
//	freopen("1.in","r",stdin);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		add(u,v,w),add(v,u,w);
	}
	g[1]=1e18;
	dfs(1,0);
	dfs2(1);
	cin>>m;
	while(m--){
		cin>>K;
		for(int i=1;i<=K;i++){
			cin>>d[i];
			bz[d[i]]=1;
		}
		sort(d+1,d+1+K,cmp);
		int tt=0;
		for(int i=1;i<K;i++){
			d[i+K]=lca(d[i],d[i+1]);
		}
		d[K+K]=1;
		sort(d+1,d+K+K+1,cmp);
		for(int i=1;i<=K+K;i++){
			if(d[i-1]!=d[i])d[++tt]=d[i];
		}
		for(int i=2;i<=tt;i++){
			edge[lca(d[i-1],d[i])].push_back(d[i]);
		}
		solve(1); 
		cout<<f[1]<<"\n";
	}
}

套路

数据范围中看见类似 $\sum m \leq 10^{5}$ 的东西时就要考虑建虚树了。

但是建虚树人人都会，重点是如何计算。

例题

posted @ 2024-09-26 21:39 dengchengyu 阅读(15) 评论(0) 编辑收藏举报

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	#include<bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	int n,m;
	const int N=2.5e5+5;
	int to[N2],nx[N2],st[N],tot,co[N*2];
	void add(int u,int v,int w){
	to[++tot]=v,nx[tot]=st[u],st[u]=tot,co[tot]=w;
	}
	vector<int> edge[N];
	int top[N],fa[N],son[N],sz[N],d[2*N],dep[N];
	#define ll long long
	ll f[N],g[N];
	int lca(int x,int y){
	while(top[x]!=top[y]){
	if(dep[top[x]]>dep[top[y]])x=fa[top[x]];
	else y=fa[top[y]];
	}
	if(dep[x]>dep[y])return y;
	return x;
	}
	int dfn[N],dfn1;
	void dfs(int x,int y){
	sz[x]=1,fa[x]=y,dep[x]=dep[y]+1;
	for(int i=st[x];i;i=nx[i]){
	int v=to[i];
	if(v!=y){
	g[v]=min(g[x],(ll)co[i]);
	dfs(v,x),sz[x]+=sz[v];
	if(sz[v]>sz[son[x]])son[x]=v;
	}
	}
	}
	void dfs2(int x){
	dfn[x]=++dfn1;
	if(son[fa[x]]==x)top[x]=top[fa[x]];
	else top[x]=x;
	if(son[x])dfs2(son[x]);
	for(int i=st[x];i;i=nx[i]){
	int v=to[i];
	if(v!=fa[x]&&v!=son[x])dfs2(v);
	}
	}
	int K;
	int cmp(int x,int y){
	return dfn[x]<dfn[y];
	}
	int bz[N];
	void solve(int x){
	ll sum=0;
	for(int v:edge[x]){
	solve(v);
	sum+=f[v];
	}
	edge[x].clear();
	if(bz[x])f[x]=g[x];
	else f[x]=min(g[x],sum);
	bz[x]=0;
	}
	int main(){
	// freopen("1.in","r",stdin);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
	int u,v,w;
	cin>>u>>v>>w;
	add(u,v,w),add(v,u,w);
	}
	g[1]=1e18;
	dfs(1,0);
	dfs2(1);
	cin>>m;
	while(m--){
	cin>>K;
	for(int i=1;i<=K;i++){
	cin>>d[i];
	bz[d[i]]=1;
	}
	sort(d+1,d+1+K,cmp);
	int tt=0;
	for(int i=1;i<K;i++){
	d[i+K]=lca(d[i],d[i+1]);
	}
	d[K+K]=1;
	sort(d+1,d+K+K+1,cmp);
	for(int i=1;i<=K+K;i++){
	if(d[i-1]!=d[i])d[++tt]=d[i];
	}
	for(int i=2;i<=tt;i++){
	edge[lca(d[i-1],d[i])].push_back(d[i]);
	}
	solve(1);
	cout<<f[1]<<"\n";
	}
	}

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