最小斯坦纳树 学习笔记
最小斯坦纳树
给定一张无相连通图，每条边有权值，有 \(k\) 个关键点，要求选择权值和最小的边使得关键点连通，求权值和。
类似最小生成树，但是限定了关键点就只能用指数级的复杂度解决，这里考虑类似状压 DP 的方法。
首先最终答案显然是一个树。
所以我们设 \(f_{i,S}\) 表示以 \(i\) 为根的树，包含了关键点中 \(S\) 的这些点，\(S\) 是一个 \(01\) 串。
考虑怎么转移，分 \(i\) 的度数为 \(1\)，和不为 \(1\) 两种情况。
为 \(1\) 则：
不为 \(1\) 则 \(i\) 有两个子树，把两个子树合并即可：
要注意在这里我们不用关心 \(i,j\) 是否是关键点而更新后面的 \(S\)，我们只需在最开始把关键点 \(i\) 赋为 \(f_{i,\{i\}}=0\) 即可，然后后面的转移相当于把这些关键点合并。
由于 \(S\) 肯定是逐渐变大的，所以考虑在最外层枚举 \(S\)，用之前的状态更新当前的状态，这里是 \(O(2^k)\)。
考虑怎么实现，对于上面一条转移，注意我们不是只做一条边，可能是很多条边连起来，那么就做最短路，用优先队列 \(Dijkstra\) 可以做到 \(O(n\log m)\)，具体地就是一开始把所有点都推进队列里，总的就是 \(O(2^k n\log m)\)。
对于下面这条转移，就是一个枚举子集，而枚举子集可以做到 \(3^k\)，具体来说是这样（\(j\) 是 \(i\) 的子集）：
for(int i=0;i<(1<<k);i++)
for(int j=i;j;j=((j-1)&i))
do something
所以这一部分的总复杂度是 \(O(3^k n)\)。
注意一件事情，我们需要先做度数不为 \(1\) 的转移，再做为 \(1\) 的转移，相当于是先得到更大的 \(S\)，然后才能把这个 \(S\) 扩展到更多的点；否则若更大的 \(S\) 还没合并，不是最优的，那么先扩展到更多的点也不是最优的。
最后的复杂度就是 \(O(3^kn+2^k n\log m)\)。
AC 代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,K;
const int N=105,M=505;
vector<pair<int,int>> g[N];
int f[N][1<<10],bz[N];
struct arr{
int val,num;
arr(int _val,int _num){
val=_val,num=_num;
}
};
int operator<(arr x,arr y){
return x.val>y.val;
}
int id[N];
int main(){
// freopen("P.in","r",stdin);
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n>>m>>K;
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v,w;
cin>>u>>v>>w;
g[u].push_back(make_pair(v,w));
g[v].push_back(make_pair(u,w));
}
int X;
memset(f,0x3f,sizeof f);
for(int i=1;i<=K;i++){
int x; cin>>x;
X=x; id[x]=i;
f[x][1<<i-1]=0;
}
for(int i=1;i<(1<<K);i++){
for(int j=i;j;j=((j-1)&i)){
for(int k=1;k<=n;k++)
f[k][i]=min(f[k][i],f[k][j]+f[k][i-j]);
}
memset(bz,0,sizeof bz);
priority_queue<arr> q;
for(int k=1;k<=n;k++)q.push(arr(f[k][i],k));
while(q.size()){
int u;
while(q.size()&&bz[u=q.top().num])q.pop();
if(q.empty())break;
bz[u]=1; q.pop();
for(auto _v:g[u]){
int v=_v.first,co=_v.second;
if(f[v][i]>f[u][i]+co){
f[v][i]=f[u][i]+co;
q.push(arr(f[v][i],v));
}
}
}
}
cout<<f[X][(1<<K)-1];
}
相关练习
P4294 [WC2008] 游览计划
P3264 [JLOI2015] 管道连接
经过一些思考可以发现，最终答案一定是所有颜色所形成的斯坦纳树的并，于是对于每种颜色的斯坦纳树拿出来再做一次状压 DP 即可。
另外在这道题中，数据范围较大，因此 \(SPFA\) 跑得比 \(Dijkstra\) 更快。
