一笔画问题 （欧拉定理+图的连通性）

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

• 输入

  第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

• 输出

  如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

• 样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

• 样例输出

No
Yes

分析

原文

欧拉定理 如果一个网络是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

判断一笔画的方法：

　　①是连通的。一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。不是连通的就不能一笔画出。

　　②奇点个数是0或者是2。图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。

　　一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。

所以这个问题完全可以转化策略为：

​ 第一步： 首先我们不管它三七二十几，先进行连通性的判断。

​ 第二步：

​ （1）如果是连通的，我们来判断此图的度的奇点的个数是0或者是2 ，如果是，则说明这个是欧拉图，即可以一笔画出，反之则不能一笔画出

​ （2）如果是非连通的，这说明这个图很定不能一笔画出。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxv 1001
using namespace std;
int p,q;
int vest[maxv];
int du[maxv];
void init(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++ )
        vest[i]=i;
        memset(du,0,sizeof(du));
}
int findx(int t)
{
    if(vest[t]==t)return t;
    return vest[t]=findx(vest[t]);
}
void mergex(int a,int b)
{
    int x=findx(a);
    int y=findx(b);
    if(x!=y)
        vest[x]=y;

}
int main()
{
    //freopen("2.txt","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&p,&q);
        init(q);
        for(int i=0; i<q; i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            du[a]++;
            du[b]++;
            mergex(a,b);
        }
        int sum1=0;
        for(int i=1;i<=p;i++)
        {
            if(vest[i]==i)
                sum1++;
            if(sum1>=2)break;
        }
        if(sum1>=2)
        {
            printf("No\n");
        }
        else
        {
            int sum2=0;
            for(int i=1;i<=p;i++)
                if(du[i]%2==1)
            {
                sum2++;
            }
            if(sum2==0||sum2==2)
                printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }

    }
    return 0;
}