关于普通dij算法为什么不能解决负权边的分析

[转载]
关于普通dij算法为什么不能解决负权边的分析

我们首先来分析下含负权边的无向图：

1.先看图
我们求A点到C点的最短距离，很明显答案为1.
2.我们用dij来跑下，看过程：

• 先把A点标记哈，不需要访问本身
• 首先找到距A最近的且直接相连的点（也就是两点间没有中转点）C，把C标记哈
• 找出C点的出点A,，B，A被标记了不管，此时A到B的距离为3，大于A到C的距离加上C到B的距离0，所以更新A到B的距离为0
• 更新后A到C的距离仍然为2，A到B的距离为0，A，C都被标记，只有B未被标记，进行下一步
• 找到距A最近的且未被标记的点B，标记B
• 找出B的出点A，C，然而A，C两点都被标记，不能松弛
• 好，程序结束，结果为A到C的距离为2而不是1，说明普通dij并不能处理带负权边的无向图

3.看完了dij过程可能仍有人不是很明白为什么，没关系，待会儿会详细解释，现在我们看下带负权边的有向图：

4.如图，我们还是求A到C的最短距离，很明显，答案还是15.我们还是用dij来跑下：

• 先把A点标记哈，不需要访问本身
• 首先找到距A最近的且直接相连的点（也就是两点间没有中转点）C，把C标记哈
• 找出C点的出点，哦豁，莫得，不方，莫得就不管，走下一步
• 找到距A最近的且未被标记的点B，标记B
• 找出B的出点C，好，松弛，等等！！！松弛个锤子，C是标记了的，按照dij远的点是不能松弛近的点的，所以不能松弛。
• 好，程序结束，结果为A到C的距离为2，跟答案不同。说明也不能用dij来处理带负权边的有向图。

PS（有的人在倒数第二步没有判断点是否标记，导致求出来的结果是1，然而这时错误的，下面我将说明）
6.我们来看看原因：
我们先来看看dij的由来，dij求最短路的算法是由贪心得来的，也就是说长路径的松弛正确的前提是用来松弛它的短路径是最短的，也就是说在之后是不会变的，这在非负权值的情况下是对的，然而遇到负权值便错了，因为当加入了负权值边后便可能使之前的短边变得更短，就如图中一样，我们先访问了C点，则AC的距离在之后的距离应该是不变的，这在都是非负权值时是正确的，因为每条边都是非负的，当通过其他点来中转时，所经过的路径和必然不小于AC的距离，然而加入了负权边后，使得AC的距离变得比初始更小，这便使得前提错误，前提都错了，dij算法便不成立，结果便错误，这也是为什么有那么多人糊涂的原因，也是我专门举这个例子的原因