证明不存在格点正n边形(n!=4)

这是我在知乎上的一个答案。个人非常喜欢这个证明。

 

如何证明平面内任意六个整点都不能组成正六边形？

假如整点正六边形存在，一定有边长最小的一个，记作.
以为中心，将逆时针旋转90度，得到。显然也是整点。类似定义~，它们也都是整点。
如你所见，是一个更小的整点六边形，矛盾。

 

由此也可说明整点正三角形不存在。因为只要有整点正三角形，就一定有整点正六边形
值得注意的是，这样的证明是可以推广的（N>4时）。以下是五边形的情形。