线性筛素数

学习这个算法的时候看了这位大佬的题解

背景

最近遇到一个问题，需要判断大量的数是否是素数，暴力做法会TLE，所以在寻找解决办法的时候了解了欧拉筛法（线性筛法）

代码

这里以洛谷P3383为例

#include <iostream>
#include <cstring>
 
using namespace std;
 
bool isPrime[114514191];
int Prime[114514191];
 
void solve(int n) {
   int cnt = 0;
   memset(isPrime, true, sizeof(isPrime));
   isPrime[1] = false;
 
   for(int i = 2; i <= n; i++) {
       if(isPrime[i]) {
           Prime[++cnt] = i;
       }
       for(int j = 1; j <= cnt && i * Prime[j] <= n; j++) {
           isPrime[i * Prime[j]] = false;
 
           if(i % Prime[j] == 0) break;
       }
   }
 
}
 
int main(void) {
   ios::sync_with_stdio(0);
 
   int n, q;
   cin >> n >> q;
   solve(n);
 
   while(q--) {
       int k;
       cin >> k;
       cout << Prime[k] << endl;
   }
 
   return 0;
}

时间复杂度: $O(n)$

算法原理

欧拉筛的基本原理是利用因数分解的思想来筛去合数，对于任一合数均可被拆分为$\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}\times \mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{因}\mathrm{数}$，我们从2开始（因为2本身就素数，所以直接从它开始判断）枚举每一个素数，即$Prime[j]$，那么$i\ast Prime[j]$必定时一个合数，将其筛去。为了确保线性复杂度，我们期望每一个合数只被它的最小质因数筛去，这样每个数都指挥被筛一遍，为了确保这一点我们使用了if(i % Prime[j] == 0) break;由于$j$是从小到大开始枚举，当这个条件成立时，$Prime[j]$必定为i的最小质因数。

正确性证明(出自大佬博客)

设任一要被筛去的合数C的最小质因数为p，令B = C / p,则B的最小质因数一定不小于p（$\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}\times \mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{质}\mathrm{因}\mathrm{数}=\mathrm{合}\mathrm{数}$）所以当外层枚举到枚举$i=B$时，由于B的最小质因数一定不小于p，所以内层在结束break前一定会遇到p，(博客原话是:所以$i$在质数枚举至p之前一定不会break)，这样就可以保证c会被筛去。

The End