[雅礼集训 2017 Day1]市场 题解

题目链接

题目分析

听说是很典的一道题，很明显难点在于除法下取整的操作。

类似花神那一道题，但是由于有区间加，所以无法进行暴力修改。

很明显暴力复杂度爆炸，考虑下取整带来的性质：

• 对于一对相邻的数，很明显有 $\lfloor \frac{x-1}{k}\rfloor \ge \lfloor \frac{x}{k}\rfloor -1$。
• 我们将上面的柿子稍微做一点变形，可以得到：$x-1-\lfloor \frac{x-1}{k}\rfloor \le x-\lfloor \frac{x}{k}\rfloor$。

可见对于一个函数 $f(x,k)=x-\lfloor \frac{x}{k}\rfloor$，是单调递增的，所以当一个区间的最大值和最小值的函数值相等时，相当于区间同时减掉同一个数（其实就是这个函数的定义），上线段树维护即可。

可以用势能分析，时间复杂度大约为 $O(n\log n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
inline int read(){
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}
 
const int maxn=1e5+20;
int n,a[maxn],q;
struct node{
	ll sum,tag1,mn,mx;
}tree[maxn<<2];
struct segment_tree{
	inline int ls(int x){
		return x<<1;
	}
	inline int rs(int x){
		return x<<1|1;
	}
	inline void push_up(int p){
		tree[p].sum=tree[ls(p)].sum+tree[rs(p)].sum;
		tree[p].mn=min(tree[ls(p)].mn,tree[rs(p)].mn);
		tree[p].mx=max(tree[ls(p)].mx,tree[rs(p)].mx);
	}
	inline void push_down(int p,int l,int r){
		int mid=l+r>>1;
		tree[ls(p)].mn+=tree[p].tag1,tree[rs(p)].mn+=tree[p].tag1;
		tree[ls(p)].mx+=tree[p].tag1,tree[rs(p)].mx+=tree[p].tag1;
		tree[ls(p)].sum+=tree[p].tag1*(mid-l+1),tree[rs(p)].sum+=tree[p].tag1*(r-mid);
		tree[ls(p)].tag1+=tree[p].tag1,tree[rs(p)].tag1+=tree[p].tag1;
		tree[p].tag1=0;
	}
	void build(int p,int l,int r){
		tree[p].tag1=0;
		if(l==r){
			tree[p].sum=tree[p].mn=tree[p].mx=a[l];
			return;
		}
		int mid=l+r>>1;
		build(ls(p),l,mid);
		build(rs(p),mid+1,r);
		push_up(p);
	}
	void update1(int p,int l,int r,ll x,ll y,ll k){
		if(x<=l&&r<=y){
			tree[p].mn+=k,tree[p].mx+=k,tree[p].sum+=1ll*k*(r-l+1),tree[p].tag1+=k;
			return;
		}
		push_down(p,l,r);
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=mid) update1(ls(p),l,mid,x,y,k);
		if(y>mid) update1(rs(p),mid+1,r,x,y,k);
		push_up(p);
	}
	void update2(int p,int l,int r,int x,int y,int k){
		if(x<=l&&r<=y&&(ll)floor(1.0*tree[p].mx/k)-tree[p].mx==(ll)floor(1.0*tree[p].mn/k)-tree[p].mn){
			tree[p].tag1+=(ll)floor(1.0*tree[p].mn/k)-tree[p].mn;
			tree[p].sum=tree[p].sum+((ll)floor(1.0*tree[p].mn/k)-tree[p].mn)*(r-l+1),tree[p].mn=(ll)floor(tree[p].mn*1.0/k),tree[p].mx=(ll)floor(tree[p].mx*1.0/k);
			return;
		}
		push_down(p,l,r);
		int mid=l+r>>1;
		if(x<=mid) update2(ls(p),l,mid,x,y,k);
		if(y>mid) update2(rs(p),mid+1,r,x,y,k);
		push_up(p);
	}
	ll query1(int p,int l,int r,int x,int y){
		if(x<=l&&r<=y) return tree[p].mn;
		push_down(p,l,r);
		int mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) return query1(ls(p),l,mid,x,y);
		if(x>mid) return query1(rs(p),mid+1,r,x,y);
		return min(query1(ls(p),l,mid,x,y),query1(rs(p),mid+1,r,x,y)); 
	}
	ll query2(int p,int l,int r,int x,int y){
		if(x<=l&&r<=y) return tree[p].sum;
		push_down(p,l,r);
		int mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) return query2(ls(p),l,mid,x,y);
		if(x>mid) return query2(rs(p),mid+1,r,x,y);
		return query2(ls(p),l,mid,x,y)+query2(rs(p),mid+1,r,x,y); 
	}
}S;
signed main(){
	n=read(),q=read();
	for(int i=0;i<n;i++) a[i+1]=read();
	S.build(1,1,n);
	int op,l,r,x;
	while(q--){
		op=read(),l=read(),r=read();
		l++,r++;
		if(op==1) x=read(),S.update1(1,1,n,l,r,x);
		else if(op==2) x=read(),S.update2(1,1,n,l,r,x);
		else if(op==3) printf("%lld\n",S.query1(1,1,n,l,r));
		else printf("%lld\n",S.query2(1,1,n,l,r));
	}
	return 0;
}
/*
*/