树状数组—区间修改+单点查询 详解

看了很长时间大佬的博客，终于明白了区间修改和单点查询的原理，因为大佬们的思维比较强大，所以菜鸡决定写一篇较为详细的解释。

 

首先引入差分数组d，设原数组为a,令d[i]=a[i]-a[i-1].由此关系式得，也就是a[j]等于d[j]的前 j 项和，即前缀和。

于此，我们的树状数组维护的是 d 的前缀和。

 

1、单点查询：

有以上推理得，查询a[i]相当于查询b[i]的前缀和，用树状数组操作即可。（注意：树状数组维护的是d数组，不是原数组！）

 

2、区间修改：

因为对a的区间[i,j]加x，就相当于a[i]比a[i-1]大x，a[j+1]比a[j]小x，就相当于对a[i]加x，对a[j+1]减x。

因为a[i]等于d[i]的前缀和，所以a[i]+x就相当于对d[i]的前缀和加x,可以用树状数组操作。

同理，a[j+1]-x等于b[j+1]的前缀和减x，用树状数组操作。

 

上一道经典例题：Color the ball   HDU - 1556  

 

N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？

Input

每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。 
当N = 0，输入结束。

Output

每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

Sample Input

3
1 1
2 2
3 3
3
1 1
1 2
1 3
0

Sample Output

1 1 1
3 2 1

 

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<deque>
#include<map>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long  LL;
const double pi=acos(-1.0);
const double e=exp(1);
const int N = 100010;

#define lson i << 1,l,m
#define rson i << 1 | 1,m + 1,r

int c[N];
int sum[N];
int ans[N];

int lowbit(int x)
{
    return x=x&(-x);
}

void update(int i,int v)
{
    while(i<=N)
    {
        c[i]+=v;
        i+=lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i)
{
    int x=0;
    while(i>0)
    {
        x+=c[i];
        i-=lowbit(i);
    }
    return x;
}

int main()
{
    int i,p,j,n;
    int a,b;
    while(1)
    {
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
            break;
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            update(a,1);
            update(b+1,-1);
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i!=n)
                printf("%d ",getsum(i));
            else
                printf("%d\n",getsum(i));
        }
    }
    return 0;
}