[数学问题]毒药和老鼠的研究[转]
转自:http://www.cnblogs.com/icyJ/p/Mouse_Poison.html
基础:
1.整数的二进制表达式
1000/2=500 --(余)--0 500/2=250 --(余)--0 250/2=125 --(余)--0 125/2=62 --(余)--1 62/2=31 --(余)--0 31/2=15 --(余)--1 15/2=7 --(余)--1 7/2=3 --(余)--1 3/2=1 --(余)--1 1/2=0 --(余)--1
1000的二进制表达式为 1111101000 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 23 = 512 + 256 + 128 + 64 +32 + 8
2.二进制和上面的题目有什么关系呢?
表达0~2w-1的整数值,只需要w位的二进制即可。
再转换一下:w位的二进制可以表达(2w-1)+1=2w个整数值。
出题:8瓶水,其中一瓶有毒,请问需要几只老鼠,如何测试呢?
步骤一:8 = (二进制)1000 = 23。
即三位的二进制即可表达8种情况。
步骤二:将三位的二进制所有的情况罗列出来,剔除0的情况
计算机的整数(索引)从0开始,生活中的计数习惯从1开始,这里可以取个巧,将0理解为索引,映射到最后一个数字,在这里就是8;剔除0,也就是剔除了第8瓶水的情况。
┆ 0 ┆ 0 ┆ 1 ┆ //1 ┆ 0 ┆ 1 ┆ 0 ┆ //2 ┆ 0 ┆ 1 ┆ 1 ┆ //3 ┆ 1 ┆ 0 ┆ 0 ┆ //4 ┆ 1 ┆ 0 ┆ 1 ┆ //5 ┆ 1 ┆ 1 ┆ 0 ┆ //6 ┆ 1 ┆ 1 ┆ 1 ┆ //7
从右往左,第一列对应的是1010101,其中1对应的数即为{1,3,5,7};第二列对应0110011=>{2,3,6,7};第三列对应0001111=>{4,5,6,7}
步骤三:提取上面的数字,得出结果。
第一只老鼠给他喂食(1,3,5,7)瓶水的混合液,第二只老鼠喂食(2,3,6,7)的混合液,第三只老鼠喂食(4,5,6,7)的混合液。
步骤四:根据结果推算答案。
如果第一只死了,第二只和第三只活着,我们依旧从右往左写成001(死掉为1,活着为0),转成十进制整数为1。那么结论就是第1瓶水有毒。
如果第一只死了,第三只也死了,第二只活着。二进制为101,转十进制为5。那么结论就是第5瓶水有毒。
如果全部死亡。111,对应7,那么就是第7瓶水有毒。
如果全部存活。000,那就是0瓶水(或者容易理解的我们也说第8瓶水。计算机里的整数从0开始,而实际操作中从1开始。做这类题目的时候将0转换成最后一位即可)有毒。
步骤五:验证答案。
101的情况:第二只存活,说明2,3,6,7没有问题,而第一只和第三只,取他们的交集,有可能的是5和7,但是前面已经排除了7,所以答案是5。
再来验证110的情况:第一只存活,二、三只光荣了,说明1,3,5,7没问题,后两只的混合液取交集,有可能是6,7。前面排除了7,答案只能为6。
继续思考:
1000瓶水,找出其中有毒的那一瓶水,需要多少小白鼠,实际操作怎么样呢?
29 < 1000 < 210 所以需要的白老鼠个数为10只,也就是10只老鼠才能充分的反应1000种情况。当然,10老鼠最多可以反映多少情况呢,应该是210=1024种。
得出了需要十只老鼠,接下来十只老鼠应该怎么操作才能得出结论呢?
0000000001 ------1
0000000010 ------2
0000000011 ------3
0000000100 ------4
0000000101 ------5
...
1111100111 ------999
那么第一只老鼠应该喝1,3,5,7,9,11,...,997,999瓶水的混合液
第二只老鼠则是2,3,6,7,...,998,999瓶水的混合液
第三只老鼠则是4,5,6,7,12,13,14,15,...,996,997,998,999瓶水的混合液
...
第十只老鼠则是512,513,514,...,999瓶水的混合液
好吧,每个老鼠的指标都是接近500瓶的混合液,这也是自然的,每个位上有0,1两种可能。这么多,老鼠估计喝都喝死了。还想到一个问题啊,稀释这么严重,能毒死老鼠吗?这年头老鼠的生命力很顽强啊,这得上好的毒药啊......
......最后观察老鼠的牺牲情况,从右至左,死掉为1,活着为0,得到最终的二进制表达式,然后转换成十进制,即为有毒瓶子的答案。
问题:6个质量相等的小球和1个质量稍重的球,不能用天平,只能用称,设计一种方法,只能量三次就找出稍重的球。
类似的问题,这里数量变成了7个。测试数据也从死掉变成了重和轻,不过一样可以转换成0和1。
如果你看懂了上面,不妨想想这个的答案