整数分解方法——腾讯2017春招真题

如下示例：

1：共0种分解方法；

2：共0种分解方法；

3：3=2+1 共1种分解方法；

4：4=3+1=2+1+1 共2种分解方法；

5：5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1 共5种分解方法

6：6=5+1=4+2=4+1+1=3+2+1=3+1+1+1=2+2+1+1=2+1+1+1+1 共7种分解方法

以此类推，求一任意整数num有几种分解方法？

思路：动态规划

• 对于数num，按照分解情况的结尾数字考虑：以1结尾，以2结尾，...，以floor((num - 1) / 2)结尾，每种结尾都先进行一次分解(以7为例，以1结尾时分解成6+1，以2结尾分解成5+2，以3结尾分解成4+3)
• 对于第一次分解出的两个数(num1，num2)，进一步分解num1，且只在num1 > 2*num2 时分解num1(否则无法保证降序，例：5=3+2，3继续分解出2+1，则5=2+1+2不是降序)
• 若num1是偶数，计算分解情况时+1(例：5=4+1，进一步分解4时，要考虑4=2+2)
• 保证num1进一步分解的结尾的数>=num2(例：7=5+2，进一步分解5时，只能将5分解成3+2，若分解成任意以1结尾的情况，如4+1，则7=4+1+2不是降序)
• 因此，我们运用动态规划的方法，从3开始往大数分析，构造二维数组arr[i][j]，arr[i][j]表示分解结尾数为j+1(下标从0开始)时的分解种数，即将第i+1行所有列相加即为num=i+1时的分解方法总数

C++   AC code：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

int main() {
    int num;
    while (cin >> num) {
        int result = 0;

        vector<vector<int>> arr(num + 1, vector<int>());//二维容器，第一维长度num+1，第二维长度不定

        for (int i = 3; i <= num; i++) {
            int columnNum = (i - 1) / 2;//隐式转换

            arr[i].resize(columnNum);//定义arr[i][]第二维长度

            for (int j = 0; j < columnNum; j++) {
                arr[i][j] = 1;//arr[i][]数据初始化，对应思路1.

                int num2 = j + 1;
                int num1 = i - num2;

                if (num1 > 2 * num2) { //对应思路2. 只有在这种情况下才进行分解
                    if (num1 % 2 == 0) { //对应思路3. 如果num1是偶数，则增加计数
                        arr[i][j]++;
                    }

                    // 计算num1的分解，对应思路4. k范围是[num2,columnNum)
                    for (int k = j; k < arr[num1].size(); k++) {
                        arr[i][j] += arr[num1][k];//不能从k=0开始加，否则无法保证分解结果降序，即种数计算有重复
                    }
                }
            }
        }

        if (num == 1 || num == 2) {
            result = 0;
        } else {
            for (int i = 0; i < arr[num].size(); i++) {
                result += arr[num][i];
            }
        }

        cout << result << endl; // 使用C++的cout进行输出
    }

    return 0;
}