2 球面线性插值-计算机动画笔记

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3D空间中，在等长度的两个交角为theta的向量v1(x1,y1,z1),v2(x2,y2,z2)之间进行球面线性插值。
实例：
做一个行星在围绕太阳等速旋转的动画，假设只采样到旋转过程中的两个位置p1,p2，现在想要用软件模拟行星是怎么从p1运动到p2的。

思路：
1. 一般线性插值：

我们知道一般两个量之间进行线性插值的方法为：
v(t) = v1 + t*(v2-v1)（0<=t<=1)（因为t是一次方的，所以是线性的。）

这里，考虑v,v1,v2是向量,由几何学的知识，v2-v1即为v1,v2组成的三角形的另外一条边。因为|v1| = |v2|,所以v1 + t*(v2-v1)的长度肯定小于|v1|或|v2|，当0<t<1时。得到的插值向量v(t)的端点沿着v2-v1行进。

一般线性插值由于长度发生变化，不能满足案列的要求，我们需要保持向量长度不变的插值，即球面线性插值。

2.一般球面线性插值：

如上图所示，将一般线性插值得到的结果乘以放大系数k(t),使其长度放大到|v1|或|v2|,即得保持向量长度不变的插值:
v(t) = k(t)*(v1 + t*(v2-v1))

其中k(t) = |v1|/|v(t)|=|v1|/|v1+t*(v2-v1)|.

这样，插值向量v(t)的端点就会沿着v1,v2端点构成的圆弧行进。因为v1,v2是等长的，这个圆弧实际上是位于v1,v2构成的球面上的一段，所以又叫球面线性插值，

这个插值解决了3D空间中旋转的插值，在关键帧动画中可以用来计算两个关键帧之间的动画。但是，由于它的插值不是等角速度的，而是变速的。所以如果用来实现案例中的效果的话还需进一步处理。

注：一般球面线性插值v（t）与v1的夹角theta(t)不是t的线性函数。

证明：由向量点积可得cos(theta(t)) = (v(t)*v1)/|v(t)|*|v1|，（这个证明还没细看）
theta(t) = arcos((v(t)*v1)/|v1|^2),由反证法，假设theat(t)为线性函数，则 theat(t) = k*t + b,又theta(0) = 0,故 b = 0,theat(t) = k*t，将t'= 2t代入得,theta(2*t) = arcos((v(2*t)*v1)/|v1|^2)并不等于 2*theta(t),所以theat(t)不可能是t的线性函数。