常用算法时间复杂度的计算方法

1. 时间复杂度

　　时间复杂度是指程序运行从开始到结束所需要的时间。时间复杂度的计算一般比较麻烦，故在数据结构的研究中很少提及时间复杂度。为了便于比较同一个问题的不同算法，通常做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题来说是基本操作的原操作，以该基本操作重复执行的次数做为算法的时间量度。基本操作应是其重复执行次数和算法时间成正比的原操作，多数情况下它是最深层循环内的语句中的操作。算法的执行次数还要随输入集有关，此时要考虑所有可能输入数据的期望值，此时的算法时间复杂度叫平均时间复杂度。有事平均时间复杂度难以确定，此时分析最坏情况下算法的一个上界，此时称为最坏时间复杂度。

2. 时间复杂度的表示方法

　　设解决一个问题的规模为n，基本操作被重复执行次数是n的一个函数f（n），则时间复杂度可记作： T(n)=O(f(n)) 它表示随着问题规模n的增长，算法执行时的增长率和f(n)的增长率相同。其中T(n)叫算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。算法的时间复杂度考虑的只是对于问题规模n的增长率，则在难以精确计算的情况下，只需考虑它关于n的增长率或阶即可。

　　例如　

　for(i=2;i<=n;++i)
　　　for(j=2;j<=i-1;++j)
　　　{
　　　　++x;
　　　　a[i,j]=x;
　　　}

　　其中++x语句频度为：1+2+3+…+n-2=(n-1)(n-2)/2=(n2-3n+2)/2故算法的时间复杂度可表示为：T(n)=O(n2)

3. 时间复杂度的计算方法

　　时间复杂的推导方法一般如下：

　　第一步：用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

　　第二步：在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

　　第三步：如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

　　时间复杂度一般分为以下几种，分别是：

　　（1）常数阶 首先顺序结构的时间复杂度。　

main（） 
{
    int sum=0,n=100;
    sum=(1+n)*n/2;
    printf(“%d”,sum);
}

算法的时间复杂度为O(1)。 这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

　　（2）线性阶 要确定某个算法的阶次，需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。　

int i; for(i=0;i<n;i++)
{ 
  /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
}

　　（3）对数阶

int count=1;
while(count<n)
{ count=count*2; /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/} 

　　由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一点。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(log2n)。 
（4）平方阶

inti,j; 
for(i=0;i<n;i++)
{ 
    for(j=0;j<n;j++)
    { /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
     }
} 

循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。间复杂度为O（n2）。

4. 总结

　　本文主要讨论算法的时间复杂度，算法时间复杂度在数据结构中是比较难的问题，通过本文给出的计算时间复杂度的方法，能够比较容易掌握时间复杂的计算。