信号处理趣学D5——利用仿真教你理解周期混叠和采样定理

小虎最近发现了很有意思的采样定理，它是用来解决混叠失真的一个方法，这里小虎就用MATLAB带大家来理解一下这两个概念。

全文目录

• 什么是周期混叠和采样定理
• • 混叠失真
  • 采样定理
  • • 采样函数
    • • 错误的采样函数
• 仿真结果
• • 物理意义
• 代码分析
• 完整代码
• 更多

什么是周期混叠和采样定理

混叠失真

对于带限信号$x(t)$，如果对信号的采样频率不够大的话，将会出现混叠失真，一旦出现混叠失真，那么采样将不能够完美重构信号。

采样定理

采样定理(Nyqust and Shannon sampling theorem)是指，当采样频率${\omega }_s$大于等于信号最高频率${\omega }_{max}$的两倍时，采样后的频谱不会产生混叠失真。
$${\omega }_s\ge 2{\omega }_{max}$$

采样函数

设采样周期为$T_s$，采样函数为$x_t(s)$，则采样函数的表达式如下。
$$x_t(s)=x(t){\delta }_T(t)=x(t)\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$$
当且仅当$t=n{T}_s$时，后面一项不等于0。故
$$x_t(s)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)$$
将我们的采样频率$f_s$代入即可求出采样函数。
例如$$x_t=sin(80\pi t)+3\ast sin(180\pi t)$$的采样函数是$$xs=sin(80\pi n/f_s)+3\ast sin(180\pi n/f_s);$$

错误的采样函数

比如下面这个，不管采样点和采样频率怎么取，采样结果很大程度地偏离了原始信号。采样函数仅存在于模拟仿真，实际采样中，注意的参数是采样频率。

仿真结果

物理意义

1.这里的采样点数量总共只有11个，这11个点已经足够描述一个周期的信号，所以对分析结果没有影响。
2. 当采样频率低于$2{\omega }_{max}=180Hz$时，采样得到的信号与原信号由于混叠失真无法很好构建原信号，而且${\omega }_s$越小，偏离越严重，可以从上面图1~3看到。原因是采样的间隔太宽了，在这么宽的间隔中已经经过了好几个信号的周期，取得点相对于原信号密度十分低，这样得到一个新的信号规律将是片面的新点连接。
3. 当采样频率大于$2{\omega }_{max}=180Hz$时，可以从上面图4看到，采样得到的点连接后，但是很好的拟合出原始信号。

代码分析

自变量范围-0.1~0.1s。

t=-0.1:0.001:0.1;

画出原始信号。

x_t=sin(2*pi*40*t)+3*sin(2*pi*90*t);
plot(t,x_t);
hold on;

设采样点数量和采样频率。

n=-5:5;
fs=300;

在与原信号同一图幅上画出它的采样函数。

xs=sin(2*pi*40*n/fs)+3*sin(2*pi*90*n/fs);
stem(n/fs,xs,'r--');
plot(n/fs,xs,'r--');
xlabel('t');
ylabel('x_4(t)');
legend('x_4(t)','recovery');

完整代码

t=-0.1:0.001:0.1;
x_t=sin(2*pi*40*t)+3*sin(2*pi*90*t);
plot(t,x_t);
hold on;
n=-5:5;
fs=300;
xs=sin(2*pi*40*n/fs)+3*sin(2*pi*90*n/fs);
stem(n/fs,xs,'r--');
plot(n/fs,xs,'r--');
xlabel('t');
ylabel('x_4(t)');
legend('x_4(t)','recovery');

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