信号处理趣学D8——关于拉氏变换和频谱图的那些事儿

最近小虎在网课上被老师问到编程写出一指数函数 $y=Ae^{-at}$ 的频谱图，当时鼓捣了1个多钟？？？以前是画过bode图，bode的幅频图是对数幅频图。应该也可以用伯德图直接画的，但是这个问题的关键应该在拉氏变化。5分钟不到的事，要搞那么久，看来是小虎还不太理解拉氏变换。编程工具还是那熟悉的MATLAB。

拉氏变换简介

拉普拉斯变换(Lapalace transform)，是一种线性变换，也就是说非线性不可以用这种方法，它可以将时域变量转换为复数变量进而得到复数频率。一般来讲，满足同质性f(ka)=kf(a)和可加性f(a+b)=f(a)+f(b)，即为线性变换，参考这里。
在信号分析领域中，何岭松教授将之称为叠加性和比例性： 叠加性，系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和；比例性，数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的数倍。

傅里叶变换vs拉氏变换

既然都是将时域信息转化为频域信息，那么拉氏变换和傅里叶变换(fourier transform)有啥区别呢？
wikipedia说，“The Laplace transform is similar to the Fourier transform. While the Fourier transform of a function is a complex function of a real variable (frequency), the Laplace transform of a function is a complex function of a complex variable.”他们主要区别是变量形式不同，在傅里叶变换是关于实数频率变量的方程，而拉氏变换是关于复数频率变量的方程。
不过两种时域to频域的变换工程上都有应用，像小虎用过的，数字图像处理滤波用过傅里叶变换、傅里叶反变换；自动控制用过拉氏变换求传递函数以及系统的动态特性等等。
傅里叶变换
$X(\omega)=\int ^\infty_{-\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
拉氏变换
$\{f(t)\}=\int ^\infty_0 e^{-st}f(t)dt$

拉氏变换表

看下面其中一个网站：
Laplace Transform
Microsoft Word - New Laplace Transform Table

频谱图简介

以待画频谱的函数 $y(t)=Ae^{-at}$ 为例。
首先查拉氏变换表，的到exponent function的拉氏变换，上述函数的转换结果是：
$Y(s)=\frac {A}{s+a}$
令 $s=j\omega$ ，可以得到
$Y(w)=\frac {A}{j\omega+a}$
幅值、相角为：
$|Y(w)|=\frac A {\sqrt{\omega^2+a^2}}$
$\phi(w)=-arctan(\frac \omega a)$
这样，幅值和相位角就是关于频率的函数。将幅值和相位角关于频率的图像分别画出，就是幅频图（振幅频谱图magnitude spectrum）和相频图（相位角频谱图phase angle spectrum），两者合称为频谱图。
在这里插入图片描述

示例以及结果

设A=5，a=5。接下来提供提供两种方法画频谱图，两种方法表示不同，应用场景有点区别。

方法1定义法

频谱图定义

幅值关于频率变化的函数绘制出来的图像称为幅频图，函数可以表示为 $|X(\omega)|$ ；相位角关于频率变化的函数绘制出来的图像称为相频图，函数可以表示为 $\varphi(\omega)$ 。幅度可以对函数取绝对值得到，而相位角，可以从复平面得到，比如
$z = 3 + j 2$
它的幅值为 $\sqrt {3^2+2^2}=\sqrt {13}$ ，相位角为： $\varphi=arctan \frac 23$
在这里插入图片描述

结果图

在这里插入图片描述

完整代码

a=5;A=5;
w=-5*pi:0.01:5*pi;
Xw=A./sqrt((w.^2+a^.2));
phi=-atan(w/a);
subplot(2,1,1);
plot(Xw);
xlabel('\omega');
ylabel('|X(\omega)|');
subplot(2,1,2);
plot(phi);
xlabel('\omega');
ylabel('|\phi(\omega)|');